Derivatan av en kvot

I det förra avsnittet studerade vi hur vi kan beräkna derivatan av en produkt av funktioner med hjälp av produktregeln. En närbesläktad situation som vi vill kunna hantera är kvoter av funktioner och hur dessa deriveras, vilket är vad vi ska behandla i det här avsnittet, där vi kommer fram till kvotregeln.

Kvot av funktioner

På samma sätt som en del funktioner kan ses som en produkt av två andra funktioner, förekommer det att en funktion kan skrivas som en kvot av två andra funktioner. Sådana funktioner kan skrivas i formen

$$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$$

Till exempel kan funktionen f(x) vara

$$f(x)=\frac{2{x}^{2}+3x-4}{3x+5}$$

där

$$g(x)=2{x}^{2}+3x-4$$

och

$$h(x)=3x+5$$

En kvot av två funktioner kan vi även skriva om som en produkt:

$$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}=g(x)\cdot \frac{1}{h(x)}=g(x)\cdot j(x)$$

där

$$j(x)=\frac{1}{h(x)}$$

Skriven i denna form kan vi beräkna derivatan genom att tillämpa produktregeln. Dock är vi intresserade av att finna en deriveringsregel som tillåter oss att derivera en kvot av två funktioner utan att gå omvägen via denna omskrivning och användning av produktregeln.

Kvotregeln

En del kvoter av funktioner kan vi med fördel skriva om i en form som innebär att vi kan derivera dem utifrån våra redan kända deriveringsregler. För andra kvoter av funktioner är detta inte lämpligt, till exempel

$$f(x)=\frac{3cos\,x}{2x+1}$$

Det finns en deriveringsregel kallad kvotregeln som anger hur man relativt enkelt kan derivera en kvot av funktioner. Kvotregeln säger oss att en funktion

$$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$$

har derivatan

$$f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{{(h(x))}^{2}}$$

där h(x) ≠ 0.

Vi deriverar den funktion som vi tog upp i början av detta avsnitt med hjälp av kvotregeln.

$$f(x)=\frac{2{x}^{2}+3x-4}{3x+5}$$

Låter vi

$$g(x)=2{x}^{2}+3x-4$$

och

$$h(x)=3x+5$$

så kan vi använda kvotregeln efter att vi har deriverat de båda funktionerna g(x) och h(x).

Vi får följande derivata för respektive funktion:

$$g'(x)=4x+3$$

och

$$h'(x)=3$$

Nu kan vi använda kvotregeln för att beräkna den ursprungliga funktionens derivata:

$$f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{{(h(x))}^{2}}=$$

$$=\frac{(4x+3)\cdot (3x+5)-(2{x}^{2}+3x-4)\cdot (3)}{{(3x+5)}^{2}}=$$

$$=\frac{(12{x}^{2}+20x+9x+15)-(6{x}^2+9x-12)}{9{x}^{2}+30x+25}=$$

$$=\frac{6{x}^{2}+20x+27}{9{x}^{2}+30x+25}$$

Vi deriverar även den krångligare funktionen som vi tog upp tidigare i avsnittet med hjälp av kvotregeln.

$$f(x)=\frac{3cos\,x}{2x+1}$$

Låter vi

$$g(x)=3cos\,x$$

och

$$h(x)=2x+1$$

så kan vi använda kvotregeln efter att vi har deriverat de båda funktionerna g(x) och h(x).

Utifrån de deriveringsregler som vi kommit fram till tidigare i Matte 4-kursen, får vi följande derivata för respektive funktion:

$$g'(x)=-3sin\,x$$

och

$$h'(x)=2$$

Nu kan vi använda kvotregeln för att beräkna den ursprungliga funktionens derivata:

$$f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{{(h(x))}^{2}}=$$

$$=\frac{(-3sin\,x)\cdot (2x+1)-(3cos\,x)\cdot (2)}{{(2x+1)}^{2}}=$$

$$=-\frac{3sin\,x}{2x+1}-\frac{6cos\,x}{{(2x+1)}^{2}}$$

Detta uttryck må fortfarande vara komplicerat, men det tillåter oss att enkelt beräkna derivata för godtyckliga definierade x-värden. Till exempel x = 0 ger oss

$$f'(0)=-\frac{3sin\,0}{2\cdot 0+1}-\frac{6cos\,0}{{(2\cdot 0+1)}^{2}}=-\frac{0}{1}-\frac{6}{1}=-6 $$