Komplexa tal

När vi studerade lösning av andragradsekvationer i Matte 2 stötte vi för första gången på de komplexa talen när vi löste andragradsekvationer men vi kallade det då att det saknades reella lösningar.

I det här avsnittet ska vi bekanta oss med hur vi ändå kan hantera situationen när vi saknar reella lösningar, genom införandet av så kallade imaginära tal, som tillsammans med de reella talen bildar komplexa tal.

Vi såg att vi inte kunde lösa andragradsekvationen

$$x^{2}+25=0$$

Eftersom vi fastnade på att vi inte kunde lösa

$$x=\sqrt{-25}$$

då vi fram tills nu inte har haft några verktyg för att beräkna negativa kvadratrötter.

Detta är något som matematiker länge tyckte var otillfredsställande, eftersom det ledde till att vi saknade sätt att uttrycka lösningen till många andragradsekvationer. På 1700-talet kom dock den kände schweiziske matematikern Leonhard Euler fram till att vi kunde lösa dessa ekvationer om vi införde en ny typ av tal genom införandet av den imaginära enheten \(i\), som är definierad som det tal vars kvadrat är -1. 

Denna imaginära enhet \(i\) har följande egenskaper:

$$i^{2}=-1$$

Som vi använder så här

$$i=\sqrt{-1}$$

Om vi nu använder oss av den här nya kunskapen, så kan vi skriva om vår andragradsekvation ovan

$$x=\pm\sqrt{-25}$$

$$x=\pm\sqrt{-1\cdot25}$$

$$x=\pm\sqrt{i^{2}\cdot5^{2}}$$

Härifrån kan vi sedan beräkna x:

$$x=\pm\sqrt{i^{2}\cdot5^{2}}$$

$$x=\pm5i$$

$$\begin{cases} x_{1}= 5i\\ x_{2}= -5i \end{cases}$$

Den typ av tal som vi hittade som lösningar till denna andragradsekvation kallar vi imaginära tal.

Ett komplext tal är ett tal som består av både en reell del och en imaginär del. Till exempel är följande ett komplext tal

$$3+5i$$

I exemplet ovan är \(3\) den reella delen och \(5\) den imaginära delen av det komplexa talet. Om ett komplext tal saknar reell del, då kallar vi det ett rent imaginärt tal (exempel på rent imaginära tal är de båda lösningarna till vår andragradsekvation ovan, x₁= 5i och x₂= -5i).

Ett komplext tal kan alltid skrivas på formen

$$z=a+bi$$

där a och b är två reella tal, och i är den imaginära enheten; a kallas för realdelen och b för imaginärdelen.

Mängden av alla komplexa tal brukar betecknas \(\mathbb{C}\) och inkluderar alltså alla tal som kan skrivas på den allmänna formen ovan. De reella talen \(\mathbb{R}\) utgör en delmängd av de komplexa talen. Det innebär att alla reella tal kan skrivas som komplexa tal, vilket vi kan göra genom att vi till det reella talet adderar ett imaginärt tal 0i.

Komplexa tal i rektangulär form

Vanligen när vi har att göra med komplexa tal, skriver vi dem i följande form:

$$z=a+bi$$

där z betecknar det komplexa talet, a och b är reella tal, och i är den imaginära enheten.

Detta sätt att skriva ett komplext tal kallas rektangulär form. Skrivet i denna form utgör a talet z:s realdel och b utgör talet z:s imaginärdel. Vi kan skriva detta på flera sätt, bland annat  \(\Re (z)= Re(z) = a\) och \(\Im(z) = Im(z) = b\).

Det finns även andra sätt att representera komplexa tal, vilka vi kommer att titta på senare i detta kapitel. Förutom det rent teoretiska värdet som komplexa tal har, då de erbjuder ett sätt att uttrycka icke-reella lösningar på andragradsekvationer, så har vi stor användning för komplexa tal inom fysiken, bland annat vid beskrivning av vågrörelser inom elektromagnetismens område.