Andragradsekvationer

Vi har tidigare lärt oss om så kallade andragradekvationer och hur man kan göra för att lösa sådana ekvationer, bland annat med hjälp av pq-formeln. Låt oss repetera hur vi löser andragradsekvationer.

En fullständig andragradsekvation följer samma mönster som följande ekvation:

$$x^{2}+16x-4=0$$

För att lösa en andragradsekvation med hjälp av pq-formeln ska koefficienten framför x²-termen vara 1 och högerledet lika med noll.  Det ska alltså finnas en x²-term, en x-term, samt en konstant term.

Om x²-termen har en koefficient med något annat värde än 1, så behöver vi först skriva om uttrycket genom att dividera alla termer med koefficienten.

Här följer ett exempel på hur det kan gå till när x²-termen har koefficienten 2

$$2x^{2}+8x-2=0$$

$$\frac{2x^{2}}{2}+\frac{8x}{2}-\frac{2}{2}=\frac{0}{2}$$

$$x^{2}+4x-1=0$$

Det är även nödvändigt att ha endast noll i högerledet. Om vi har ett tal eller ett uttryck i HL subtraherar vi det från både vänsterledet och högerledet - kvar i högerledet blir då noll. 

Här är ett exempel på hur det kan gå till

$$x^{2}+4x-1=7$$

$$x^{2}+4x-1-7=7-7$$

$$x^{2}+4x-8=0$$

När vi nu har en andragradsekvation skriven på önskad form, kan vi ta nästa steg och lösa denna ekvation med hjälp av pq-formeln.

pq-formeln ser ut så här:

$$x^{2}+px+q=0$$

$$x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q}$$

 Vi ska nu visa ett exempel på hur man kan tillämpa denna formel för att lösa en andragradsekvation

$$x^{2}+12x-13=0$$

Vi börjar med att identifiera p och q. Observera att q-värdet är negativt:

$$p=12$$

$$q=-13$$

$$x=-\frac{12}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{12}{2} \right )^{2}-(-13)}$$

$$x=-6\pm \sqrt{36+13}=-6\pm \sqrt{49}=$$

$$=-6\pm 7\Rightarrow x_{1}=1\: och\: x_{2}=-13$$

En andragradsekvation har ofta två lösningar, men kan också ha endast en lösning eller ingen lösning.

 Här är ett exempel på en andragradsekvation som har endast en lösning

$$x^{2}-8x+16=0$$

$$x=-\frac{(-8)}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{(-8)}{2} \right )^{2}-16}$$

$$x=4\pm \sqrt{(-4)^{2}-16}=4\pm \sqrt{0}$$

$$x_{1}=x_{2}=4$$

Emellanåt kan man också ha att göra med en andragradsekvation som inte har någon reell lösning. Detta inträffar då rot-delen av pq-formeln utgörs av ett uttryck som är roten ur ett negativt tal.

Den här andragradsekvationen har inte någon reell lösning

$$x^{2}+10x+26=0$$

$$x=-\frac{10}{2} \pm\sqrt{\left (\frac{10}{2} \right )^{2}-26}$$

$$x=-5 \pm\sqrt{5^{2}-26}=-5\pm \sqrt{-1}$$

Eftersom vi inte kan räkna ut roten ur -1 saknar ekvationen reell lösning.

Ett annat sätt att lösa en andragradsekvation är med hjälp av kvadratkomplettering

Målet är att skriva om ekvationen som en kvadrat, dvs så här

$$x^2-2bx+b^2= (x-b)^2$$

Vi har ekvationen 

$$x^2-4x-12 = 0$$

Vi lägger till 12 båda sidor 

$$x^2-4x-12+12=0+12$$

Sedan lägger vi till d², som vi sen ska hitta för att VL ska bli en kvadrat. 

$$x^2-4x+d^2 = 12+d^2$$

Vi kollar närmare på VL vad vi behöver för värde på d för att det ska vara en kvadrat. (Notera att det blir minus i parentesen eftersom det är minus framför 4x)

$$x^2-4x+d^2 = (x-d)^2$$

$$x^2-4x+d^2 = x^2 -2dx+d^2$$

Så för att detta ska stämma måste 

$$-4x = -2dx $$

Alltså måste d = 2

Nu kan vi skriva om den här ekvationen

$$x^2-4x+d^2 = 12+d^2$$

$$(x-d)^2= 12+d^2$$

Vi sätter in d = 2

$$(x-2)^2= 12+4$$

$$(x-2)^2= 16$$

Nu drar vi roten ur båda leden och vi får

$$x-2 = \pm \sqrt{16}$$

$$x=2\pm 4$$

$$x_1= 6 \text{ och } x_2 = -2$$

VI kan kontrollera våra rötter genom att byta ut dem mot x i ekvationen vi hade från början och får ut 0.

$$6^2 -4\cdot 6 -12 = 36 -24-12 = 0 $$

$$(-2)^2-4(-2)-12= 4+8-12 =0$$

Det stämmer!

Avsaknad av p-värde

pq-formeln som vi använde tidigare kan alltid tillämpas på andragradsekvationer, men om ekvationen saknar p- eller q-värde, så finns det lättare metoder att hitta lösningar.

I det här avsnittet ska vi se hur man kan lösa andragradsekvationer som saknar p-värde (p är lika med noll).

Här är ett exempel på hur en sådan andragradsekvation kan se ut

$$x^{2}-16=0$$

Den här ekvationen saknar alltså p-värde. Ett annat sätt att skriva just den här ekvationen är

$$x^{2}+0\cdot x-16=0$$

Men eftersom

$$0\cdot x=0$$

låter man vanligtvis bli att skriva ut den termen i uttrycket.

Vi kan lösa ekvationen genom pq-formeln:

$$\\p=0$$

$$q=-16$$

$$x=-\frac{0}{2} \pm \sqrt{\left (\frac{0}{2} \right )^{2}-(-16)}$$

$$x=\pm \sqrt{16}=\pm 4$$

$$x_{1}=4 \: och \: x_{2}=-4$$

Men ett lättare sätt att lösa just den här sortens andragradsekvationer är att addera 16 på båda sidor om likhetstecknet.

$$x^{2}-16 + 16 =0+16$$

$$x^{2}=16$$

$$x=\sqrt{16}$$

$$x_{1}=4 \: och \: x_{2}=-4$$

Vi får ut samma lösning(ar) oavsett vilken av dessa metoder vi använder, men när andragradsekvationen saknar p-värde kan den senare metoden vara enklare och snabbare att använda än pq-formeln.

Vi har i det förra avsnittet sett att vissa andragradsekvationer saknar reella lösningar. Samma sak gäller för vissa andragradsekvationer vars p-värde är lika med noll.

Här är ett exempel på en sådan andragradsekvation som saknar reella lösningar:

$$x^{2}+16=0$$

Försöker vi att lösa den på samma sätt som vi gjorde nyss med den liknande ekvationen, får vi det här resultatet:

$$x^{2}+16-16=0-16$$

$$x^{2}=-16$$

$$x=\pm \sqrt{-16}$$

Andragradsekvationen saknar alltså reella lösningar, eftersom uttrycket under rot-tecknet är negativt.

Avsaknad av q-värde

Vi har tidigare sett hur man hittar lösningar på fullständiga andragradsekvationer och hur man enklare kan hitta lösningar på sådana andragradsekvationer som saknar p-värde. 

Nu ska vi repetera en metod som kan användas för att enklare hitta lösningar i de fall då andragradsekvationen saknar q-värde (det vill säga när q är lika med noll). Vi har tidigare stött på denna metod, som kallas nollproduktmetoden.

Här är ett exempel på en andragradsekvation som saknar q-värde:

$$x^{2}+4x=0$$

Ett annat sätt att skriva denna ekvation är

$$x^{2}+4x+0=0$$

men på samma sätt som vi såg tidigare i avsnittet om andragradsekvationer som saknar p-värde, låter man vanligtvis bli att skriva ut q-värdet om det är lika med noll.

Först ska vi visa att det går att lösa denna typ av andragradsekvation med hjälp av pq-formeln:

$$p=4 \\q=0$$

$$x=-\frac{4}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{4}{2} \right )^{2}-0}$$

$$x=-2\pm \sqrt{4}$$

$$x=-2\pm 2$$

$$x_{1}=0 \: och \: x_{2}=-4$$

Men vi ska också lösa ekvationen på ett snabbare sätt. Vi börjar med att faktorisera ekvationens VL och bryta ut x:

$$x^{2}+4x=x(x+4)=0$$

Nu har vi två faktorer vars produkt som ska vara lika med noll. Vi vet att om en av dessa faktorer är noll, så kommer VL = 0 = HL:

$$x\cdot (x+4)=0$$

Den första roten till ekvationen är därför x=0:

$$0\cdot (0+4)=0\cdot 4=0$$

Den andra roten får vi om vi tänker att den andra faktorn ska vara noll. Den andra faktorn är:

$$(x+4)$$

Vi får alltså som en liten mini-ekvation som vi ska lösa:

$$(x+4)=0\Rightarrow x=-4$$

Den andra roten till ekvationen är därför x=-4:

$$-4\cdot (-4+4)=-4\cdot 0=0$$

De båda rötterna är nu funna och ekvationen är löst. Vi kan kontrollräkna våra lösningar genom att testa att sätta in de båda rötterna var för sig i ursprungsekvationen:

$$x_{1}=0$$

$$0^{2}+4\cdot 0=0$$

$$x_{2}=-4$$

$$(-4)^{2}+4\cdot (-4)=16-16=0$$

Låt oss räkna ytterligare ett exempel, denna gång med utgångspunkt i en tredjegradsekvation:

$$x^{3}-6x^{2}+5x=0$$

Hur kan vi lösa denna ekvation? Vi kan direkt se att VL består av termer som alla innehåller x, vilket betyder att vi kan faktorisera uttrycket i VL och bryta ut x:

$$x^{3}-6x^{2}+5x=0 \Rightarrow$$

$$x(x^{2}-6x+5)=0$$

Nu kan vi direkt, genom den första faktorn är x, se att den första roten är

$$x_{1}=0$$

Den andra faktorn är

$$(x^{2}-6x+5)$$

Vi skapar en "mini-ekvation" och löser ut de andra två rötterna genom pq-formeln:

$$x^{2}-6x+5=0$$

$$p=-6$$

$$q=5$$

$$x=-\frac{(-6)}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{-6}{2} \right )^{2}-5}$$

$$x=3\pm \sqrt{4}=3\pm 2$$

$$x_{2}=1 \: och \: x_{3}=5$$

Just den här tredjegradsekvationen var ett specialfall, som vi kunde lösa med hjälp av faktorisering och pq-formeln. Dessa metoder kan dock vara användbara att ha i minnet om man stöter på ekvationer av högre gradtal.

Vi löser ett till exempel

$$x^3+6x^2+12x=0$$

Vi faktoriserar genom att bryta ut x

$$x(x^2+6x+12)=0$$

Första roten är 

$$x_1=0$$

Vi löser resten med pq-formeln

$$x= \frac{-6}{2} \pm \sqrt{{\left(\frac{6}{2}\right)}-12}$$

$$x= -3 \pm \sqrt{9-12}$$

$$x= -3 \pm \sqrt{(-3)}$$

Vi fick ett negativt tal under rottecknet och därför är x₂ och x₃ inte reella rötter. Så den enda reella rot vi fick var den vi hade från början 

$$x_1=0$$