Räkneregler för integraler

I Matte 3-kursen introducerade vi begreppet integraler och såg hur man kunde beräkna en primitiv funktion utifrån en känd funktion. Vi såg även hur man kunde använda integraler för att underlätta beräkning av areor.

I det här avsnittet ska vi utöka vår kunskap om primitiva funktioner och lära oss ett antal användbara räkneregler för integraler.

Några nya primitiva funktioner

Sedan vi tidigare studerat hur vi kan komma fram till de primitiva funktionerna till ett antal vanligt förekommande funktioner, har vi introducerat ytterligare några funktioner, vars primitiva funktioner vi i det här läget gärna vill kunna beräkna.

Allmänt gäller att en funktion F(x) är en primitiv funktion till f(x) om

$$F'(x)=f(x)$$

Eftersom konstanttermer faller bort då man deriverar en funktion, kan funktionen f(x):s primitiva funktion allmänt skrivas som F(x) + C, där C är en konstant.

De specifika funktioner som vi vill kunna beräkna primitiva funktioner till är de båda trigonometriska funktionerna f(x) = sin kx och f(x) = cos kx, och funktionen f(x) = 1/x.

Till vår hjälp har vi de deriveringsregler som vi kom fram till i avsnittet om några viktiga funktioners derivata.

Funktionen

$$f(x)=\sin\,kx$$

har den primitiva funktionen

$$F(x)=-\frac{\cos\,kx}{k}+C$$

där k och C är konstanter.

Funktionen

$$f(x)=\cos\,kx$$

har den primitiva funktionen

$$F(x)=\frac{\sin\,kx}{k}+C$$

där k och C är konstanter.

Funktionen

$$f(x)=\frac{1}{x}$$

har den primitiva funktionen

$$F(x)=\ln |x|+C$$

där C är en konstant.

Vi tittar på ett exempel

Vi har en funktion

$$f(x)=\sin\,2x$$

och vill beräkna arean mellan denna kurva och x-axeln i intervallet

$$0\le x\le\frac{\pi}{2}$$

Vi börjar med att skissa upp kurvan, så att vi får en uppfattning om hur det intressanta området ser ut.

Från Matte 3-kursen är vi bekanta med att vi kan beräkna arean mellan en kurva f(x) och x-axeln med hjälp av följande samband

$$A=\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$

om f(x) är icke-negativ i hela intervallet a ≤ x ≤ b.

Med vår funktion f(x) får vi därför

$$A=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\,2x\,dx$$

Den primitiva funktionen till

$$f(x)=\sin\,2x$$

beräknar vi med hjälp av den formel som vi kom fram till tidigare i det här avsnittet:

$$F(x)=-\frac{\cos\,2x}{2}+C$$

Nu kan vi beräkna arean som

$$A=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\,2x\,dx=F\left (\frac{\pi}{2} \right )-F(0)=$$

$$=-\frac{\cos\,\left (2\cdot \frac{\pi}{2} \right )}{2}+C-\left (-\frac{\cos\,(2\cdot 0)}{2}+C \right )=$$

$$=-\frac{\cos\,\pi}{2}+C+\frac{\cos\,0}{2}-C=$$

$$=-\frac{(-1)}{2}+C+\frac{1}{2}-C=1\,a.e.$$

Området mellan kurvan och x-axeln i det givna intervallet har alltså arean 1 areaenhet.

Räkneregler

Det finns ett antal räkneregler som kan hjälpa oss då vi räknar med integraler. Dessa kan till exempel användas för att gå från komplicerade integraler till en uppsättning enklare integraler, som vi lättare kan beräkna.

Nedan går vi igenom dessa räkneregler och tittar på ett enkelt exempel på var och en av dem.

Vi kan flytta ut en konstantfaktor k ur en funktion som ska integreras:

$$\int_{a}^{b}k\cdot f(x)\,dx=k\cdot \int_{a}^{b}f(x)\,dx$$

Ett exempel på denna räkneregel:

$$\int_{a}^{b}2\cdot \sin\,x\,dx=2\cdot \int_{a}^{b}\sin\,x\,dx$$

Vi kan dela upp ett integrationsintervall i två delintervall:

$$\int_{a}^{c}f(x)\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{b}^{c}f(x)\,dx$$

Ett exempel på denna räkneregel:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\,2x\,dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sin\,2x\,dx+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\sin\,2x\,dx$$

Vi kan integrera funktionstermer var och en för sig istället för tillsammans, och sedan addera de enskilda integralerna:

$$\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{a}^{b}g(x)\,dx$$

Ett exempel på denna räkneregel:

$$\int_{a}^{b}(\sin\,x+2x)\,dx=\int_{a}^{b}\sin\,x\,dx+\int_{a}^{b}2x\,dx$$

På motsvarande sätt kan vi integrera funktionstermer var och en för sig istället för tillsammans, och sedan subtrahera de enskilda integralerna:

$$\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx-\int_{a}^{b}g(x)\,dx$$

Ett exempel på denna räkneregel:

$$\int_{a}^{b}(\sin\,x-2x)\,dx=\int_{a}^{b}\sin\,x\,dx-\int_{a}^{b}2x\,dx$$