Vinklar

I Matte 1-kursen lärde vi oss om de trigonometriska sambanden som finns i rätvinkliga trianglar. Vi inleder det här avsnittet med en repetition av det vi tidigare har lärt oss, för att sedan gå in på områden där vi tillämpar dessa grunder inom trigonometrin.

Som vi lärt oss tidigare kallas en triangel rätvinklig om den har en vinkel som är 90°.

De olika sidorna i en rätvinklig triangel benämns med olika namn i förhållande till vinkeln som vi studerar. Hypotenusan är alltid den rätvinkliga triangelns längsta sida, medan de övriga sidorna kallas kateter. Den katet som ligger närmast den vinkel vi studerar benämns närliggande, den andra kateten benämns motstående:

Här beskriver vi de trigonometriska förhållandena i en rätvinklig triangel.

$$\sin v=\frac{motstående\: katet}{hypotenusan}$$

$$\cos v=\frac{närliggande\: katet}{hypotenusan}$$

$$\tan v=\frac{motstående\: katet}{närliggande\: katet}$$

Men hjälp av dessa förhållanden kan vi beräkna kvoten (förhållandet) mellan längderna eller så kan vi beräkna vinkeln. Om vi vet vinkeln \(v\) så tar vi \(\sin v\), \(\cos v\), eller \(\tan v\) och får ut kvoten. Vi kollar på ett exempel,

Vi tar vinkeln 30°

$$\sin(30^{\circ})= \frac{1}{2}$$

det ger oss att motstående sida är hälften så lång som hypotenusan.

Om vi skulle ha längderna på två sidor och vill hitta vinkeln kommer vi behöva använda inversen till sinus, cosinus och tangens, vilket är arcsinus, arccosinus, arctangens. På miniräknaren brukar de betecknas \(\sin^{-1}\),\(\cos^{-1}\), \(\tan^{-1}\).
(Denna beteckning ska inte förväxlas med exempelvis \(\frac{1}{\tan}\), då det ger helt annat resultat.)

Låt oss titta på några exempel

Beräkna sidan x

Vi har en vinkel och närliggande sida och söker motstående sida och vi vet att

$$\tan v=\frac{motstående\: katet}{närliggande\: katet}$$

och då kan vi ställa upp följande ekvation och lösa ut x

$$\tan(35^{\circ}) = \frac{x}{30}$$

$$30 \cdot \tan(35^{\circ})= x$$

$$x = 21,006...$$

Vi får alltså som svar att x är ca 21 cm.

Vi kollar på ett till liknande exempel.

Beräkna längden på sidan x

Vi har en vinkel, hypotenusan och letar efter motstående sida och vi vet att

$$\sin v=\frac{motstående\: katet}{hypotenusan}$$

och då kan vi ställa upp den här ekvationen och lösa ut x

$$\sin(45^{\circ})= \frac{x}{42,5}$$

$$42,5 \cdot \sin(45^{\circ})= x$$

$$x = 30,0520...$$

Vi får att sidan x är 30 m lång. Nu kollar vi ett exempel när vi säker en vinkel och behöver använda arcsinus, arccosinus och arctangens.

Beräkna vinkeln v

I triangeln har fått värden på motstående sida och hypotenusan, så vi använder förhållandet

$$\sin(v) = \frac{28}{35}$$

$$\sin(v) = 0,8$$

Nu applicerar vi arcsin på båda sidor och får då i VL enbart v kvar

$$\arcsin(\sin(v))= \arcsin(0,8)$$

$$v = 53,13^{\circ}$$ 

Vinkeln v är ca \(53,13^{\circ}\)

Två viktiga trianglar 

Vinklarna 30°, 45° och 60° ger oss exakta värden med sinus, cosinus och tangens. För att visa hur vi kommer fram till de här exakta värdena använder vi oss av två trianglar. Dessa kan vara bra att kunna rita upp istället för att minnas dessa utantill.

Vi börjar med en kvadrat med längd 1 och dela den på hälften längs diagonalen för att skapa en triangel och med Pythagoras sats kan vi beräkna att diagonalen blir \(\sqrt{2}\) längdenheter. Vi behåller ett hörn från kvadraten och där blir vinkeln rät, dvs 90° och de andra två blir delade på hälften och blir därför båda 45°.

Med hjälp av denna tringel kan vi få ut de exakta trigonometriska värdena för 45°
$$\tan 45 = \frac{1}{1} = 1$$
$$\sin 45 = \frac{1}{\sqrt2}$$
$$\cos 45 = \frac{1}{\sqrt2}$$

Vissa gillar inte att ha ett rottecken i nämnaren och skriver då gärna om \(\frac{1}{\sqrt 2} \) genom att förlänga med \(\sqrt 2\), det vill säga multiplicera med det i täljare och nämnare.
$$\frac{1}{\sqrt 2} = \frac{1\cdot \sqrt 2} {\sqrt 2 \cdot \sqrt 2} = \frac{\sqrt 2}{ \left( \sqrt 2 \right)^2} = \frac{\sqrt2}{2} $$

Nästa triangel så ritar vi upp en liksidig triangel med sidan 2 längdenheter, som vi delar på hälften längs höjden. Bottensidan blir då 1 längdenhet och med Pythagoras sats få ut att höjden blir \(\sqrt3\). Vinkeln som bildas mot höjden blir per automatik en rätvinkel och eftersom vi hade en liksidig var alla vinklar 60° från början och den som delades i hälften blir då 30°.

Utifrån den här triangeln får vi ut exakta trigonometriska värden för 30° och 60°

$$\sin(30^{\circ})= \frac{1}{2}$$
$$ \cos (30^{\circ}) = \frac{\sqrt 3}{2}$$
$$ \tan (30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt3}$$
$$ \sin (60^{\circ}) = \frac{\sqrt 3}{2}$$
$$ \cos (60^{\circ}) = \frac{1}{2}$$
$$ \tan (60^{\circ}) = \frac{\sqrt3 }{1} = \sqrt3$$

Vi sammanfattar detta avsnitt med de trigonometriska förhållandena i en rätvinklig triangel och exakta värdena för 30, 45 och 60°.

$$\sin v=\frac{motstående\: katet}{hypotenusan}$$

$$\cos v=\frac{närliggande\: katet}{hypotenusan}$$

$$\tan v=\frac{motstående\: katet}{närliggande\: katet}$$