Beräkning av integraler

I ett tidigare avsnitt såg vi hur vi kan hitta primitiva funktioner utifrån en känd funktion. I det här avsnittet ska vi visa på en användbar tillämpning av primitiva funktioner på ett problem som återkommer i olika sammanhang. Vi repeterar här begreppet integral och lär oss hur vi kan använda oss av integraler för areaberäkningar. Integraler går att använda för att beräkna andra saker som längd massa, volym, flöde och andra tillämpningar inom fysik, men vi kommer fokusera på area. 

Vi börjar med begreppet integraler, grundläggande ser en integral ut som följande 

$$\int f(x) \; dx$$

Vi har först integraltecknet (tecknet var från början en beteckning av en summa, så när du ska rita det så kan du tänka dig att det är ett långt utdraget S) och sedan en funktion, vars primitiva funktion vi nu behöver hitta, integraltecknet ber oss leta fram den. Sista delen är dx, vi kommer inte gå in på dess betydelse djupgående, men den säger oss att vi ska integrera en funktion på ett intervall av x-värden. Det här uttrycket utläses ” integralen av f av x, d x”. Helt generellt är svaret följande på en integral en primitiv funktion, glöm inte +C!

$$\int f(x) \; dx = F(x) $$

Vi tittar på ett exempel 

$$\int 6x +3 \; dx $$

Svaret kommer vara primitiva funktionen till 6x +3. Från tidigare avsnittet vet vi hur vi hittar denna primitiva funktion, så vi får

$$\int 6x +3 \; dx = 3x^2 +3x +C $$ 

Nu går vi vidare till nästa steg i beräkningar av integraler. Vi vill beräkna arean under en graf och tidigare har vi sett att vi kan dela in arean i enkla geometriska figurer. Som i grafen nedan så kan vi dela in arean under den räta linjen i en rektangel med basen 0 ≤ x ≤ 2 och höjden 0 ≤ y ≤ 1 och sedan en triangel ovanpå, med höjden 4 längdenheter och samma bas 0 ≤ x ≤ 2 . Arean blir därför \(\frac{4\cdot 2}{2}+2 = 6\) areaenheter. 

Men vad gör vi om funktionen som skapar det geometriska området inte är begränsat av en rät linje eller ger oss andra enkla geometriska figurer? När vi beräknar integralen av en funktion så motsvarar det att vi beräknar arean mellan grafen och x-axeln. Nu tittar vi på hur denna areaberäkning med hjälp av integraler går till. Vi börjar med att titta på arean under den räta linjen ovan, där vi kunde dela upp arean i geometriska former som vi lättare kunde beräkna och fick att arean blev 6 areaenheter.

Vi kan bekräfta att det kommer vara 6 areaeneheter när vi använder en integral också.

Vi har följande funktion i grafen

$$f(x)=2x+1$$

och är intresserade av att veta arean av det område som ligger mellan grafen och x-axeln, och som begränsas av de vertikala linjerna x=0 och x=2.

Det finns en generell formel, som heter integralkalkylens fundamentalsats för beräkning av denna typ av integraler som då ger oss arean under kurvan och x-axeln i intervallet a ≤ x ≤ b: 

$$\int_{a}^{b}f(x)\; dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b)-F(a)$$

Viktigt att notera är att funktionen \(f(x)\) måste vara en kontinuerlig funktion och den primitiva funktionen ska vara deriverbar och dess derivata sammanfaller med \(f(x)\) på intervallet, det villl säga  \(F'(x)=f(x)\). Nu tittar vi närmare på satsen och vad den innebär. 

I det vänstra ledet har vi först integraltecknet

$$\int $$

Talen a och b anger den undre respektive den övre gränsen (integraltecknet läses alltså nedifrån och upp) för det område som vi är intresserade av (i vårt exempel är a=0 och b=2). Till höger om integraltecknet med dess gränser kommer den funktion som utgör områdets övre gräns. Sist i vänstra ledet kommer dx, som här anger att areaberäkningen ska ske med avseende på förändring i x-led.

I det högra ledet anges differensen

$$F(b)-F(a)$$

Detta är alltså differensen mellan värdet på den primitiva funktion F vid den övre gränsen (x=b) och den undre gränsen (x=a).

Det är mycket nytt som kommer på en gång med denna formel, så det enklaste är att fortsätta med vårt exempel:

Vi har alltså den kända funktionen f(x)=2x+1 och vi känner till den undre gränsen vid a=0 och den övre gränsen vid b=2. Därmed kan vi ställa upp det vänstra ledet i formeln, som i vårt exempel ser ut så här (vi tar i det här fallet uttryckligen med att integralen utgör en area, A):

$$A=\int_{0}^{2}(2x+1)\; dx$$

I formelns högra led ingår den primitiva funktionen F, som vi inte känner till än, så i nästa steg får vi beräkna den, vilket vi gör utifrån de regler som vi kom fram till i det förra avsnittet. Vi får följande:

$$F(x)=x^{2}+x+C$$

När vi ska beräkna integralen skriver vi vanligen uträkningen på följande sätt:

$$\int_{a}^{b}f(x)\; dx = \left [ F(x) \right ]_a^b$$

vilket i vårt exempel blir

$$\int_{0}^{2}(2x+1)\; dx = \left [ x^2+x \right ]_0^2$$

Som du kanske upptäckte i formeln ovan, bortsåg vi från konstanttermen C när vi skrev ut högerledet. Anledningen till detta är att denna term ändå kommer att försvinna eftersom den finns med i såväl F(b) som F(a). Du kan testa att ta med C och se hur det försvinner om du vill, men beräkningen blir bara längre och krångligare, vi kan visa hur det skulle se ut.  

$$A=\int_{0}^{2}(2x+1)\; dx = \left [ x^2+x + C \right ]_0^2=$$

$$=(2^{2}+ 2 + C)-(0^{2}+ 0 +C)=$$

$$=4+2+C-C=6 \text{ areaenheter }.$$

Du kan alltså skippa steget att ha med +C om integralen har gränser, som vid areaberäkningar. Vi kunde bekräfta att den sökta arean är 6 areaenheter. 

I exemplet ovan hade vi en funktion vars graf i hela intervallet låg ovanför x-axeln. Därmed låg hela det område som vi skulle beräkna arean på över x-axeln.

Vad händer med våra beräkningar om funktionen skulle ha negativa värden i intervallet och arean som beräknas i så fall ligger under x-axeln? Jo, då kommer integrationsberäkningar utifrån metoden vi använde ovan att leda till ett negativt resultat. Men en area kan ju inte ha ett negativt värde, varför vi måste byta tecken på integralen om området vi ska beräkna arean på ligger under x-axeln. Det är inte fel om en integral får ett negativt svar, men om integralen används för att beräkna en area så byter vi tecken. Om vi har areor under och över x-axeln som ska beräknas så kan vi dela upp integralen. Vi kollar på några exempel.  

Beräkna 

$$\int_{0}^{1} x^3 -x \: dx$$

Vi använder integralkalylens fundamentalsats och börjar med att hitta primitiva funktionen

$$\int_{0}^{1} x^3 -x \: dx = \left[ \frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1^4}{4}-\frac{ 1^2}{2} \right)- \left( \frac{0^4}{4}-\frac{ 0^2}{2} \right) = \\ = -0,25 -0 = -0,25 $$

Svaret på beräkningen blir alltså \(-0,25\) och det är inget fel där, vi ombads inte att beräkna någon area. Vi kollar på ett exempel på just beräkning av area nu. 

Nedan ser vi grafen för \(f(x) = x^2-8x -2\), beräkna den skuggade arean. 

Vi ställer upp och beräknar integralen för f(x) från 0 till 6.

$$\int_{0}^{6}x^2-8x-2 \; dx=\left[ \frac{x^3}{3}-4x^2-2x \right]_{0}^{6}=\left( \frac{6^3}{3}-4\cdot 6^2 - 2\cdot 6 \right)-(0) = \\ = 72-144-12 = -84$$

Svaret blev negativt, men vi kan inte ha en negativ area. Arean blir därför 84 areaenheter

Nästa exempel kommer vi behöva tänka annorlunda. Bilden visar grafen \(f(x) = x^3-4x\)  och vi ska beräkna den skuggade arean. 

Om vi bara beräknar integralen från -2 till 2 kommer vi få svaret 0 för att areorna är lika stora men ena blir negativ. Så vi kan antingen beräkna först från -2 till 0 och sen från 0 till 2, byta tecken och lägga ihop dem. I detta fall är det lättare att beräkna från 0 till 2, byta tecken och dubbla svaret. I något annat fall om areorna inte skulle vara lika stora är det bäst att dela upp intervallen och beräkna en area i taget. 

$$\int_{0}^{2} x^3 -4x \; dx = \left[\frac{x^4}{4}-2x^2 \right]_{0}^{2} = \frac{16}{4}-8 - 0 = -4$$

Så arean som var skuggad i grafen blir alltså \(2 \cdot 4 = 8\) areaenheter. 

Nedan har vi en interaktiv graf från GeoGebra för att illustrera hur integraler beräknar area. Byt gärna värden på gränserna, byt funktion och se vad som förändras när du visar dess primitiva funktion som graf och visar beräkningen av integralen 

Sammanfattning 

Integralkalkylens fundamentalsats säger att om f(x) är definierad i intervallet och F är en primitiv funktion till f(x) (det vill säga att F är deriverbar och att \(F'(x) = f(x) \) ) så gäller det att  

$$\int_{a}^{b}f(x)\; dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b)-F(a)$$

Integralen motsvarar arean mellan kurvan och x-axeln i intervallet a ≤ x ≤ b