Primitiv funktion

I kursavsnittet derivata har vi lärt oss hur vi kan hitta derivatan \(f'(x)\) utifrån en känd funktion \(f(x)\), vilket resulterade i ett antal deriveringsregler för funktioner av olika slag.

I det här avsnittet ska vi se hur vi kan gå åt det motsatta hållet, hur vi hittar en funktion \(f(x)\) utifrån en känd derivata \(f'(x)\). Denna funktion kallar vi för primitiv funktion och är användbar i olika sammanhang, mer om det senare.

Om vi har en funktions derivata \(f'(x)\), så är den primitiva funktionen till derivatan f(x). Den primitiva funktionen till \(f(x)\) betecknas i sin tur "\(F(x)\)".

Generellt gäller att en funktion \(F(x)\) är en primitiv funktion till \(f(x)\) om den primitiva funktionen F:s derivata är lika med funktionen \(f(x)\):

$$F'(x)=f(x)$$

Vi börjar med ett enkelt exempel

Om vi har derivatan

$$f'(x)=2x$$

och ska ta fram funktionen som deriverades för att få denna derivata, så ska vi hitta en funktion som om vi deriverar den leder till derivatan som vi ser ovanför.

Funktionen bör då se ut ungefär så här, eftersom denna funktions derivata motsvarar den kända derivatan som vi utgick ifrån:

$$f(x)=x^2$$

Men vad hade hänt om funktionen innan den deriverades hade sett ut som exemplet nedan istället?

$$f(x)=x^2+4$$

Jo, det resulterande derivatan hade också blivit \(f'(x) = 2x\) när den deriveras. Samma sak gäller oavsett värdet på den konstantterm vi lägger till (i exemplen ovan hade vi konstanttermen med värdet 0 respektive 4). Om vi inte får veta något mer, så måste vi därför lägga till en allmän konstantterm när vi tar fram vilken funktion som deriverades, vilket ger oss följande funktion eftersom +C kan vara olika konstanta värden som försvinner vid derivering.  

$$ f(x)=x^2+C$$

är vi lagt till +C har vi hittat alla primitiva funktioner till \(f(x)\), om vi letar efter en specifik primitiv funktion behöver vi mer info. Om du ombeds att ge ett exempel på en primitiv funktion kan du själv välja ditt C (det är roligare att välja något annat än C = 0). 

För att beskriva hela sambandet mellan funktionerna, derivator och primitiva funktioner har vi detta diagram.  

Du kan alltså kontrollera att din primitiva funktion är korrekt genom att derivera den och se att du kommer tillbaka till funktionen du hade.

Vi tittar på ett lite mer komplicerat exempel, som följer samma mönster men har ett högre gradtal

Funktionen

$$f(x)=4x^{6}+2x-12$$

har derivatan

$$f'(x)=24x^{5}+2$$

och den primitiva funktionen (alltså den funktion som resulterar i funktionen \(f(x)\) ovan när den deriveras - du kan testa att derivera och se att det blir samma!) 

$$F(x)=\frac{4x^{7}}{7}+x^{2}-12x+C$$

Nu börjar vi se ett samband mellan en funktion och den primitiva funktionen:

Det generella sambandet som står nederst i tabellen gäller för alla

$$n\neq -1$$

Villkor

Som vi tidigare kom fram till innehåller primitiva funktioner en konstantterm (C), som försvinner om vi deriverar den primitiva funktionen.

Om vi till exempel har en känd derivata och vill bestämma vilken funktion som deriverades, då kan vi dock ha intresse av att bestämma vilket värde konstanttermen har. Hur tar vi reda på konstanttermen C:s värde? Jo, det kan vi göra om vi känner till ytterligare villkor.

Vi tittar på ett exempel

Bestäm den ursprungliga funktionen utifrån den kända derivatan

$$f'(x)=2x$$

om vi vet att

$$f(0)=5$$

Vi börjar med att hitta uttrycket för de primitiva funktionerna, vilket vi hittar i tabellen ovan (vi glömmer inte bort faktorn 2 framför):

$$f(x)=2\cdot \frac{x^{2}}{2}+C=x^{2}+C$$

Om vi nu sätter in villkoret f(0)=5 så får vi

$$f(0)=0^{2}+C=5$$

Vad vi nu har kommit fram till är att konstanttermen C ska ha värdet 5 för att villkoret ska vara uppfyllt. Därmed har vi också det fullständiga uttrycket för den ursprungliga funktionen:

$$ f(x)=x^{2}+5$$

Nu har vi alltså regler för hur vi bestämmer primitiva funktioner till potensfunktioner och exponentialfunktioner. Vi vet också att det går att använda villkor för att hitta en specifik primitiv funktion (att bestämma konstanttermen).

Exponentialfunktioner 

Vi undersöker exponentialfunktionernas primitiva funktioner. Vi vet att om \(f(x)= e^x \) så är \( f ’ (x) = e^x \) därför kan vi också snabbt hitta primitiva funktionen till f(x) som blir \(F(x)= e^x+ C\), det enda som skiljer är den obestämda konstanta termen som måste läggas till. Vi gör även denna undersökning för den mer generella versionen 

$$ f(x) = e^{kx} $$ 

Derivatan av denna funktion blir som vi såg i tidigare avsnitt

$$f'(x) = k \cdot e^{kx}$$

Eftersom k multipliceras medfunktionen vid derivering så måste vi göra motsatsen när vi ska hitta primitiva funktionen, vi har \(f(x)= e^{kx} \)och undrar vad som kan ha deriverats för att få detta, så vi delar med k (motsatsen till multiplikation vid deriveringen) och lägger till konstanttermen.  

$$F(x) = \frac{e^{kx}}{k}+C$$

Sammanfattningsvis får vi att exponentialfunktioner och deras primitiva funktioner följande samband:

där

$$k\neq 0$$

(Om k skulle vara 0, har vi funktionen \(f(x)= e\), vilket inte är en exponentialfunktion utan en konstant och primitiva funktionen skulle bli \(F(x)= e\cdot x +C\) ) 

Vi sammanfattar med reglerna för några primitiva funktioner

I nästa avsnitt ska vi lära oss hur vi kan använda primitiva funktioner.