Arean mellan två kurvor

I det förra avsnittet introducerade vi begreppet integral och såg hur man kan bestämma arean mellan en kurva och x-axeln genom att beräkna integralen.

Vi nämnde även integralkalkylens fundamentalsats och den är viktig att ha med oss i detta avsnitt också. 

Integralkalkylens fundamentalsats säger att om f(x) är definierad i intervallet och F är en primitiv funktion till f(x) gäller det att  

$$\int_{a}^{b}f(x)dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b)-F(a)$$

Integralen motsvarar arean mellan kurvan och x-axeln i intervallet a ≤ x ≤ b. Men om vi vill beräkna arean mellan två kurvor, hur gör vi då?

Vi undersöker ett exempel

Nedan ser vi ett koordinatsystem med två kurvor inritade. Den övre kurvan beskrivs av funktionen f(x) = 2x + 4 och den undre kurvan av funktionen g(x) = -3x + 2.

Områdets area beräknas i detta fall så här:

$$A=\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx$$

f(x) är alltid kurvan som ligger överst och g(x) kurvan som ligger underst. Ska vi då beräkna arean mellan kurvorna i intervallet x = 0 till x = 2, så gör vi så här:

$$A=\int_{0}^{2}((2x+4)-(-3x+2))dx =$$

$$= \int_{0}^{2}(5x+2)dx$$

Härnäst koncentrerar vi oss på det högra ledet i integralen: vi fram den primitiva funktionen och använder de övre och undre gränserna för att beräkna arean.

Om vi använder beteckningen h(x) för differensen

$$h(x)=f(x)-g(x)=5x+2$$

så får vi den primitiva funktionen H(x):

$$H(x)=\frac{5x^2}{2}+2x+C$$

Med denna kända information fortsätter vi med areaberäkningen:

$$A=\int_{0}^{2}h(x)\:dx = \left [ H(x) \right ]_0^2$$

$$A=\int_{0}^{2}(5x+2)\:dx = \left [ \frac{5x^{2}}{2} +2x \right ]_0^2=$$

$$=\frac{5\cdot 2^{2}}{2}+2\cdot 2=10+4=14 \: a.e.$$

Arean för det område som begränsas av de båda kurvorna f(x) = 2x + 4 och g(x) = -3x + 2 och de vertikala linjerna x=0 och x=2 är alltså 14 areaenheter.

Vi tittar på ett till exempel,  

Beräkna arean mellan graferna i bilden nedan 

Den blå grafen \(f(x) = -x^2+x+5\) och den gröna grafen \(g(x) = x^2 -x+1 \) möts i när x= -1 och x = 2. Vi ställer upp en integral för att beräkna arean mellan graferna. Eftersom f(x) ligger över g(x) i intervallet blir det som följande

$$A = \int_{-1}^{2} f(x) -g(x) dx = \int_{-1}^{2} -x^2+x+5 -(x^2-x+1) dx = $$$$=\int_{-1}^{2} -x^2 +x+5-x^2+x-1 dx = \int_{-1}^{2} -2x^2+2x+4 dx =$$$$= \left[\frac{-2x^3}{3}+x^2+4x \right]_{-1}^{2} = \frac{-2\cdot 8}{3}+4+8 -\left(\frac{2}{3}+1-4 \right) =$$$$= \frac{-16}{3}+12 - \frac{2}{3} +3 = \frac{-18}{3}+15 = -6 +15 = 9$$

Arean mellan graferna är därför 9 areaenheter.

Sammanfattningsvis

Vi kan beräkna arean under f(x) och över g(x) i intervallet a ≤ x ≤ b med integralen

$$A = \int_{a}^{b} f(x) -g(x) dx $$