Faktorisering och Parenteser

I detta avsnitt kommer vi behandla hur vi hanterar matematiska uttryck som innehåller parenteser, vilka räkneregler vi ska följa för att beräkna tal med parenteser. Vi lär oss vilken prioriteringsordning som finns för olika räknesätt, om de särskilda regler som finns för multiplikation och division av parenteser, samt vad som gäller för positiva och negativa tal om man tar bort en parentes.

Från avsnittet om distributiva lagen känner vi till den distributiva lagen, som lyder:

$$a(b+c)=ab+ac$$

där \(a\), \(b\) och \(c\) är reella tal. När vi multiplicerar ett tal \(a\) med ett parentesuttryck, så ska varje term inom parentesen multipliceras med talet \(a\). Man kallar detta för att multiplicera in ett tal i parentesen.

Den distributiva lagen kommer väl till pass när vi ska förenkla ekvationer och uttryck, vilket vi kan se i det här exemplet:

$$ \begin{equation} \begin{split} 3\cdot (x+4)-8x &=\\ &=3\cdot x+3\cdot 4-8x&=\\ &=3x+12-8x&=\\ &=12-5x \end{split} \end{equation} $$

Vi kan även använda den distributiva lagen åt andra hållet, så att vi utgår från en summa av termer och skriver om uttrycket som en produkt. Att göra detta kallas att faktorisera ett uttryck (eller att vi bryter ut en faktor ur uttrycket). Här är ett exempel på faktorisering av ett algebraiskt uttryck, där vi först förenklar uttrycket och sedan bryter ut faktorn 6:

$$ \begin{equation} \begin{split} 4x+7+2x-1 &=\\ &=6x+6&=\\ &=6\cdot x+6\cdot 1&=\\ &=6(x+1) \end{split} \end{equation} $$

Borttagande av parenteser

Om det finns ett minustecken framför ett parentesuttryck måste vi följa vissa specifika räkneregler, vilket vi tidigare har stött på i avsnittet om negativa tal. Ett minustecken framför parentesen innebär nämligen att vi multiplicerar hela parentesuttrycket med minus ett \((-1)\), för att ta bort parentesen.

Därför är det skillnad mellan följande två numeriska uttryck:

$$8-5+2 $$

och

$$8-(5+2) $$

Om vi i det andra uttrycket ovan först beräknar uttrycket i parentesen, i enlighet med prioriteringsreglerna, så får vi

$$8-(5+2)=8-7=1$$

Om vi istället vill ta bort parentesen först, innan vi räknar ut uttryck inom parentesen, så måste vi komma ihåg att minustecknet som står före parentesen betyder att hela parentesens innehåll ska multipliceras med \(-1\), det vill säga:

$$ \begin{equation} \begin{split} 8-(5+2) &=\\ &=8+(-1)\cdot (5+2) &=\\ &=8+(-1)\cdot 5+(-1)\cdot 2 &=\\ &=8+(-5)+(-2) &=\\ &= 8-5-2 &=\\ &=8-7=1 \end{split} \end{equation} $$

Det här senare alternativet används framförallt när vi inte kan förenkla parentesens innehåll till endast en term, vilket typiskt är fallet om vi till exempel har en variabel inom parentesen, som i följande exempel:

$$8-(5+2x)=8-5-2x=3-2x$$

Man kan säga att om man har en parentes med ett minustecken framför, så byts tecknet på alla termer inom parentesen när man tar bort parentesen, medan tecknen inom parentesen inte ändras om det finns ett plustecken framför parentesen.

Generellt fungerar borttagande av parenteser så här:

$$a-(b+c)=a-b-c$$

$$a+(b+c)=a+b+c$$

Står det en faktor framför parentesen, så fungerar det på samma sätt som ovan med avseende på plus- och minustecken, men i dessa senare fall ska ju hela parentesuttryck multipliceras med faktorn framför parentesen.

Ett exempel på detta ser vi här, där faktorn framför parentesen är \((-3)\). Termerna inom parentesen byter tecken på grund av minustecknet och multipliceras med \(3\) när parentesen tas bort (med andra ord multipliceras alla termer i parentesen med \(-3\)):

$$7-3(x+8)=7-3x-24=-3x-17$$