Sannolikhet för flera händelser

I detta avsnitt lär vi oss hur vi får fram sannolikheten för beroende och oberoende händelser som sker i följd. Vi lär oss använda en tabell när det är många möjliga utfall.

Sannolikheten för beroende och oberoende händelser

Produktregeln

Om en händelse inte påverkas av tidigare händelse kallas det oberoende händelser. Sannolikheten att 2 oberoende händelser A och B skall hända:

$$P(A\;och\; B)=P(A)\cdot P(B)$$

Produktregeln gäller även flera oberoende händelser:

$$P(A\;och\;B\;och\;C…)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)…$$

Om man kastar två vanliga sexsidiga tärningar efter varandra, vad är då sannolikheten att man först får en 5:a med den första tärningen och sedan en 6:a med den andra tärningen?

Eftersom resultatet från kastet med den första tärningen inte påverkar resultatet för den andra tärningen kallas de båda tärningskasten för oberoende händelser - sannolikheten för att den andra händelsen ska inträffa påverkas inte av den första händelsen.

Vi börjar med att beräkna sannolikheten för att få en 5:a respektive 6:a

$$P(5)=\frac{1}{6}$$

$$P(6)=\frac{1}{6}$$

Sedan beräknar vi sannolikheten för att först få en 5:a på den först tärningen och sedan en 6:a på den andra tärningen:

$$P(\text{5 på första tärningen, 6 på andra tärningen})=$$$$=P(5)\cdot P(6)=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$$

Sannolikheten för att vi ska får en 5:a på den första tärningen och sedan en 6:a på den andra tärningen är alltså \(\frac{1}{36}\), vilket motsvarar ungefär 2,8%.

Vi använder regeln

$$P(A\; och\; B)=P(A)\cdot P(B)$$

Sannolikheten för två oberoende händelser, som i vårt sista exempel med de två tärningarna, är sannolikheten för den första händelsen multiplicerat med sannolikheten för den andra händelsen.

Exempel

$$P(4\;\text{sexor i rad}) =P(\text{sexa})\cdot P(\text{sexa}) \cdot P(\text{sexa}) \cdot P(\text{sexa})=$$$$=\left(\frac{1}{6}\right)^4≈(0,167)^4≈7,7\cdot10^{-4}$$

Vad är sannolikheten att man från en vanlig kortlek slumpmässigt först drar en kung och sedan ett ess, om vi inte lägger tillbaka det kort vi drog ur kortleken?

En vanlig kortlek innehåller 52 kort. En sådan kortlek innehåller fyra kungar och fyra ess.

Sannolikheten för att dra en kung ur kortleken kommer att vara

$$P(\text{kung})=\frac{4}{52}$$

När vi har plockat ut ett kort (en kung) ur kortleken så finns det bara 51 kort kvar i leken. Sannolikheten att nu dra ett ess blir därför:

$$P(\text{ess efter kung})=\frac{4}{51}$$

Det här är ett exempel på två beroende händelser, eftersom sannolikheten för att den andra händelsen inträffar påverkas av den första händelsen.

Sannolikheten för att man först ska dra en kung ur leken och sedan ett ess, om man inte lägger tillbaka det kort som drogs, blir:

$$P(\text{kung})\cdot P(\text{ess efter kung})=$$$$=\frac{4}{52}\cdot\frac{4}{51}=\frac{16}{2652}=\frac{4}{663}≈0,006$$

Sannolikheten för att vi först ska dra en kung och sedan ett ess, om vi inte lägger tillbaka kortet, är alltså \(\frac{4}{663}\), vilket motsvarar ungefär 0,6%.

Sannolikhet med Två Föremål

Vi har två tärningar, vad är då sannolikheten är att få minst en femma på båda tärningarna?

Vi börjar med att rita en tabell som visar alla utfall, får vi en tabell med \(6\cdot6=36\) stycken rutor som representerar alla möjliga utfall. Därefter kan vi markera ut de gynnsamma utfallen, där bägge tärningarna visar minst fem d.v.s. fem eller sex, se tabellen nedan.

Från tabellen kan vi se att det finns totalt fyra gynnsamma utfall där bägge tärningarna visar fem eller sex.

$$\frac{4}{36}=\frac{1}{9}≈0,11$$

Om vi vill lösa problemet utan hjälp av en tabell, kan vi konstatera att respektive tärning har en sannolikhet av \(\frac{2}{6}\) att ge ett gynnsamt utfall, och multiplicerar vi de två sannolikheterna får vi samma svar.

$$\frac{2}{6}\cdot\frac{2}{6}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}≈0,11$$

Vi beräknar vad är sannolikheten att få att poängsumman är 2 (tärningarna visar (1, 1)) eller poängsumman 9 (tärningarna visar (3, 6) eller (4, 5) eller (6, 3) eller (5, 4)).

$$P(\text{Poängsumman är 2 eller poängsumman 9})=$$$$=P\left(\frac{1}{36}\right)+P\left(\frac{4}{36}\right)=\frac{5}{36}$$

Vi använder regeln \(P(A\; eller\;B)=P(A)+P(B)\)

Komplementhändelse

I avsnittet ”Sannolikheten för en händelse” konstaterade vi att \(P(B)=1-P(A)\) om A och B är 2 oberoende händelser. B kallas också \(A^C\) (C=complementary=komplement), dvs \(P(A^C)=1-P(A)\). Komplementhändelse kan också användas för en serie av händelser. Tex kasta en tärning 5 gånger och beräkna P(minst en sexa). Sannolikheten kan beräknas med hjälp av komplementhändelse:

$$P(\text{minst en sexa})=1-P(\text{inga sexor på fem kast})=$$$$=1-P(\text{ingen sexa i kast}\;1) \cdot ... \cdot P(\text{ingen sexa i kast fem})=$$$$=1-\left(\frac{5}{6}\right)^5≈1-0,4≈0,6$$