Potensekvationer

I avsnittet som potenser såg vi hur man kan uttrycka upprepade multiplikationer med hjälp av potenser, och i avsnittet om kvadratrötter och andra rötter lärde vi oss hur vi kan använda rötter. I det här avsnittet ska vi gå ett steg längre och se hur man kan använda dessa metoder för att lösa matematiska problem.

Vi börjar med ett exempel på den typ av problem vi önskar lösa:

Exempel 1

Säg att vi har en kvadrat med arean \(144\, cm^2\) (kvadratcentimeter). Hur lång är då kvadratens sida?

Vi vet att en kvadrats sidor är lika långa och vi väljer att beteckna längden på kvadratens sida som \(x\) (mätt i \(cm\)).

Arean av en kvadrats yta bestäms av formeln

$$A_{kvadrat}=sidan^{2} = x^2$$

Det här ger oss ekvationen

$$144=x^2$$

Utifrån vad vi tidigare har lärt oss om kvadratrötter, vet vi att kvadratroten av talet \(144\) är det tal \(x\) vars kvadrat är \(144\). Det ger

$$x=\pm\sqrt{144}=\pm 12$$

Eftersom längden på en kvadrats sida inte kan vara negativt så är \((-12)\) en omöjlig lösning i detta fall. Om en kvadrat har sidor med längden \(12\, cm\) blir alltså kvadratens area \(144\, cm^2\).

Det här är ett exempel på en potensekvation av andra graden och som vi i detta fall även kan kalla en enkel andragradsekvation eftersom vi bara har ett steg från ekvationens formulering till dess lösning (att ta roten ur).

Vi kan ha potensekvationer av högre grad, exempelvis tredjegradsekvationer, vilket vi ska se ett exempel på nu, där vi löser ekvationen med hjälp av en kubikrot.

Exempel 2

Om vi tänker oss att vi har en vattentank som rymmer \(27\, m^3\) (kubikmeter) vatten, som har formen av en kub, vilken längd har då tankens sida?

Vi vet från avsnittet om rätblock att sidorna i en kub är lika långa och vi kan därför beteckna längden på tankens sidor som \(y\) (mätt i \(m\)).

Volymen av en kub fås av

$$V_{kub}=sidan^3=y^3$$

Det ger oss följande tredjegradsekvation

$$ 27=y^3$$

Denna ekvation löser vi genom att vi drar kubikroten ur uttrycken i båda leden:

$${27}^{{}^{\frac{1}{3}}}={({y}^{3})}^{{}^{\frac{1}{3}}}$$

$$\sqrt[3]{27}={y}^{{}^{3\cdot \frac{1}{3}}}$$

Uttrycket i det högra ledet skriver vi om som \(y\) och då får vi (efter att vi för tydlighets skull har bytt plats på vänster och höger led):

$$y=\sqrt[3]{27}=3$$

Därmed vet vi att längden på kubens (tankens) sidor ska vara \(3\, m\).

Den allmänna potensekvationen

De två exemplen vi tog upp i delavsnittet ovan visar på specialfall av den allmänna potensekvationen och hur man löser den.

Den allmänna potensekvationen kan skrivas som

$${x}^{n}=a$$

där \(n\) och \(a\) är kända tal, och \(x\) är en variabel.

Från avsnittet om potenser känner vi till hur man beräknar potensen av en potens, vilket vi nu använder för att hitta en lösningsmetod för allmänna potensekvationer. Målet när vi löser potensekvationen är att \(x\) ska stå ensam utan exponenten \(n\) när vi är klara. Därför upphöjer vi båda leden till \(\frac{1}{n}\):

$${x}^{n}=a$$

$${({x}^{n})}^{{}^{\frac{1}{n}}}={a}^{{}^{\frac{1}{n}}}$$

$$x={a}^{{}^{\frac{1}{n}}}$$

Enligt potensreglerna kan vi skriva om uttrycket i det högra ledet ovan så här:

$${a}^{{}^{\frac{1}{n}}}=\sqrt[n]{a}$$

som alltså är \(n\):te roten ur \(a\).

Lösningen på ekvationen, alltså värdet på \(x\), hittar vi därför genom att vi beräknar \(n\):te roten ur \(a\).

Flera rötter

I det ena exemplet ovan, där vi räknade på arean av en kvadrat, har vi enbart skrivit ut den positiva lösningen till potensekvationen (eftersom en sträcka aldrig kan ha en negativ längd). Om vi använder oss av exemplet \(x^2 = 9\), så kan vi se att

$$x^{2}=9\Rightarrow \sqrt{x^{2}}=\sqrt{9}\Rightarrow x=3$$

Men vi vet också att \((-3)\cdot(-3) = 9\), vilket ger att \(x^2 = 9\) har två lösningar: en positiv lösning \((x = 3)\) och en negativ lösning \((x = -3)\). Detta gäller för alla andragradsekvationer av denna enkla typ.

Man brukar skriva att

$$x=\pm \sqrt{a}$$

där \(a\) är ett icke-negativt tal, är lösningarna till denna typ av andragradsekvation.

En tumregel för potensekvationer är att ekvationen har högst lika många rötter som den högsta exponenten som ingår (ekvationens gradtal). Det vill säga

$$x^{3}+cx=a$$

har högst \(3\) rötter och

$$x^{4}-x^{2}+x=b$$

har högst \(4\) rötter osv.

Negativa exponenter

Fram tills nu har vi gått igenom potenser med positiva exponenter, men vad händer om vi har en potens med en negativ exponent?

Säg att vi har ekvationen

$$x^{-3}=8$$

Hur gör vi då?

Från avsnittet om potenser vet vi att vi har en potensregel som säger att

$$a^{-b}=\frac{1}{a^{b}}$$

Vi kan använda oss av den regeln för att skriva om vår ekvation:

$$ x^{-3}=8 \Leftrightarrow \frac{1}{x^{3}}=8$$

Nu kan vi använda de metoder som vi tidigare lärt oss, för att lösa ekvationen. Vi börjar med att multiplicera hela ekvationen med \(x^3\), för att bli av med \(x^3\)-termen i nämnaren i bråkuttrycket i vänster led:

$$\\\frac{1}{x^{3}}\,{\color{Red} \cdot x^3}=8\,{\color{Red} \cdot x^3} \\ \\1=8x^3 $$

I nästa steg dividerar vi hela ekvationen med \(8\) och drar sedan tredjeroten ur uttrycken i de båda leden, så att vi har löst ut \(x\):

$$\frac{1}{{\color{Red} 8}}=\frac{8x^3}{{\color{Red} 8}} \Rightarrow x^3=\frac{1}{8}$$

$$\sqrt[3]{x^3}=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}$$

$$x=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$$

Lösningen på \(x^{-3}=8\) är alltså \(x=\frac{1}{2}\)