Problemlösning med ekvation

Många olika sorters matematiska problem går att lösa med ekvationer. I problemlösning är det stora arbetet för de flesta att översätta problemet till matematiskt språk. När man väl lyckats hitta rätt matematiskt uttryck går själva beräkningarna för att få ett svar ofta lätt. Övning ger färdighet, och problemlösningsförmåga kommer ofta med erfarenhet. Vi är vana att läsa textuppgifter och lösa dem genom att använda de fyra räknesätten. Nu ska vi träna på att också skapa ett matematiskt uttryck från textuppgiften, och lösa den ekvation vi formulerar från de värden och tal vi fått givna i vårt problem. Vad vi säkert vet är att vi alltid har någon okänd variabel i en ekvation, vars värde vi söker i varje problemuppgift.

I avsnittet om ekvationslösning såg vi hur man kan lösa ekvationer med hjälp av olika räkneoperationer, i ett eller flera steg. I det här avsnittet ska vi titta närmare på hur man i praktiken kan översätta verkliga problem till matematiska ekvationsuttryck, som vi kan lösa, och sedan tolka lösningen utifrån det ursprungliga problemet.

Formulering av problem i matematiska termer

Ekvationer kan användas som verktyg för att strukturera och förenkla lösningen av många problem. Det gäller dock att kunna tolka problemen på rätt sätt, och översätta dem till matematiska symboler och uttryck.
Det första vi måste göra är att införa definitioner. Det vi undrar över eller söker, exempelvis kilopriset på bananer i en viss affär, kallar vi \(x\), eller använder någon annan lämplig beteckning på variabeln.

I nästa steg spaltar vi upp all information om problemet som vi känner till och som vi tror kan ha betydelse för problemets lösning, exempelvis hur många kilo bananer vi har köpt och vad de kostade totalt. Med hjälp av det vi vet kan vi sedan ställa upp ett eller flera matematiska uttryck som beskriver olika aspekter av problemet.

Om vi till exempel säger att vi har köpt \(4\) kg bananer och totalt har betalat \(20\) kr, och undrar vilket kilopriset för bananerna var, så kan vi skriva det som \(4x = 20\), där \(x\) är det okända kilopriset.

Lösning av en matematisk ekvation och tolkning av lösningen

Vi ser att uttrycket vi har formulerat ovan också är en ekvation som vi kan lösa:

$$4x=20$$

$$\frac{4x}{4}=\frac{20}{4}$$

$$x=5$$

När vi nu har funnit en lösning på ekvationen tar vi ett steg tillbaka och funderar på vad det betyder att \(x = 5\) är en lösning på ekvationen. Jo, eftersom \(x\) symboliserade kilopriset på bananer, har vi alltså kommit fram till att om vi köpt \(4\) kg bananer och totalt har betalat \(20\) kr för dem, så måste priset på bananerna ha varit \(5\) kr per kg.

Problemlösning med ekvation

Nu ska vi analysera ett problem med hjälp av matematisk formulering Vi formulerar en ekvation och löser denna ekvation.

Problemet vi ska lösa lyder så här:

"Under en vecka arbetar Semira extra tre kvällar i en kiosk och får lika mycket betalt varje kväll hon arbetar. När hon arbetat klart fick hon lönen inbetald på sitt konto, som innan hon började arbeta var helt tomt. Under helgen, efter att hon har fått pengarna för veckans arbete, bestämmer hon sig för att gå på bio med sina vänner. Biobiljetten hon köper kostar \(100\) kronor, och sen köper hon popcorn och läsk för ytterligare \(100\) kronor. Hon betalar med pengar från sitt konto och dessa betalningar är de enda gånger hon rört pengarna på kontot under veckan. Efter biobesöket har Semira \(1300\) kronor kvar på kontot."

Hur mycket fick hon betalt per kväll för sitt arbete?

Vi börjar med att anta att Semira får ut \(x\, kr\) per kväll i lön. Semira jobbade tre kvällar, vilket innebär att hon sammanlagt borde ha tjänat \(3x\) kronor. I början av veckan var kontot tomt, vilket vi tolkar som att det fanns noll kronor på kontot. Vi vet också att biobesöket kostade henne \(200\, kr\) \((100\, kr + 100\, kr)\) och att när kvällen var slut hade han \(1300\, kr\) kvar på kontot.

Vi kan skriva det som ekvationen

Nu har vi alltså formulerat problemet som en ekvation, som vi kan lösa med avseende på variabeln \(x\). Vi använder oss i steg för steg av de lösningsmetoder som vi gick igenom i avsnittet om ekvationslösning:

$$3x-200=1300$$

$$3x-200+200=1300+200$$

$$3x=1500$$

$$\frac{3x}{3}=\frac{1500}{3}$$

$$x=500$$

Vi prövar den lösning vi har kommit fram till:

$$VL=3x-200=3\cdot 500-200=1500-200=1300$$

$$HL=1300$$

$$VL=HL$$

Vår prövning visar att lösningen stämmer.

Vi tolkar ekvationens lösning som att Semira fick \(500\) kronor per kväll för sitt arbete.

Något man dock bör tänka på vid matematisk problemlösning är att även om en lösning stämmer utifrån den ekvation vi har formulerat, så ger det ingen garanti för att vi översatte det ursprungliga problemet till en ekvation på rätt sätt. Om man har formulerat ekvationen fel, då innebär en lösning av denna ekvation att man löser fel problem. Därför är det viktigt att vara noga med hur man formulerar ett problem matematiskt så att man löser rätt problem.