Funktionsbegreppet

Vi har lärt oss koordinatsystem och grafer tidigare. I det här avsnittet ska vi lära oss vad en funktion är och hur den kan läsas av algebraiskt, grafiskt och från en värdetabell.

En funktion anger sambandet mellan två variabler. Funktioner kan jämföras med en maskin som producerar något beroende på det man stoppar in i maskinen enligt bilden nedan:

För varje \(x\)-värde vi stoppar in i funktionen får vi ut endast ett \(y\)-värde som också kallas för funktionsvärdet. Funktionen beskriver sambandet mellan det instoppade värdet och det värdet som kommer ut. En funktion betecknas med \(f(x)\) och läses: \(f\) av \(x\).

Exempel 1

Funktionen \(f(x)=2x+1\) är given. Bestäm

$$\text{a)}\;\;f(3)=?$$$$\text{b)}\;\;\text{det}\; x\text{-värde som ger}\;f(x)=9.$$

Lösning:

a)  Att bestämma \(f(3)\) innebär att vi ska sätta in \(3\) istället för \(x\) i funktionsuttrycket enligt nedan:

$$f(3)=2\cdot3+1=6+1=7$$Svar: \(f(3)=7\)

b)  Att bestämma det \(x\)-värde som ger funktionsvärdet \(9\) innebär att vi vill ta reda på vilket \(x\)-värde vi ska stoppa in i funktionen för att \(y\)-värdet vi får ut ska bli \(9\)?
Eftersom \(f(x)=2x+1\) och \(f(x)=9\) kan vi sätta dem lika med varandra. Då får vi ekvationen:

$$2x+1=9$$

Om vi drar bort \(-1\) från båda sidorna får vi:

$$2x=8$$

Om vi dividerar båda sidorna med \(2\) får vi:

$$x=4$$

Svar: \(x=4\)

Lösningsmetoden i Exempel 1 kallas för algebraisk lösning. Variabeln \(x\) kalas för oberoende variabeln- och variabeln \(y\) kallas för den beroende variabeln i en funktion. Varje \(x\)-värde och motsvarande \(y\)-värde paras ihop och betecknas med \((x,\;y)\). Detta är definitionen för en punkt i ett koordinatsystem. När vi ritar punkterna i ett koordinatsystem och sammanbinder punkterna får vi funktionens graf. Om grafen till en funktion är given kan vi bestämma specifika \(x\)- och \(y\)-värden genom att läsa av punktens koordinater från grafen.

 Exempel 2

Figuren visar grafen till funktionen \(y= f(x)\).

Bestäm med hjälp av grafen

$$\text{a)}\;\;f(4)=?$$

$$\text{b)}\;\;f(x)=-2.$$

a) Att bestämma \(f(4)\) innebär att vi ska bestämma \(y\) koordinaten för den punkten som har \(x\) koordinaten \(4\). Vi startar från \(4\) på \(x\)-axeln och fortsätter gå parallell med \(y\)-axeln tills vi nuddar grafen till \(f(x)\). Sedan ska vi gå parallell med \(x\)-axeln tills vi kommer till \(y\)-axeln som blir slutpunkten. Med hjälp av skalan på \(y\)-axeln läser vi av \(y\)-värdet (funktionsvärdet) enligt nedan:

Svar: \(f(4)=5\)

b) Att bestämma \(f(x)=-2\) innebär att vi ska bestämma \(x\) koordinaten för den punkten som har \(y\) koordinaten \(-2\). Vi startar från \(-2\) på \(y\)-axeln och fortsätter gå parallell med \(x\)-axeln tills vi nuddar grafen till \(f(x)\). Sedan ska vi gå parallell med \(y\)-axeln tills vi kommer till \(x\)-axeln som är slutpunkten. Med hjälp av skalan på \(x\)-axeln läser vi av \(x\)-värdet där enligt nedan:

Svar: \(x=-3\)

Lösningsmetoden i Exempel 2 kallas för grafisk lösning.

Exempel 3

Funktionen \(f(x)=2x-x^2\) är given. Bestäm

$$\text{a)}\;\;f(-3)=?$$

$$\text{b)}\;\;f(3p)=?\text{, där}\;p\; \text{är en konstant.}$$

a) Att bestämma \(f(-3)\) innebär att vi ska sätta in \((-3)\) istället för \(x\) i funktionsuttrycket enligt nedan:

$$f(-3)=2\cdot(-3) - (-3)^2=-6 - 9 = -15$$

$$\text{Observera att}\;(-3)^2=(-3)\cdot(-3)=9$$

Använd alltid parenteser för negativa tal för att skydda tecknet!

Svar: \(f(-3) = -15\)

 b) Att bestämma \(f(3p)\) innebär att vi sätter \((3p)\) istället för \(x\) i funktionsuttrycket enligt nedan.
$$f(3p)=2\cdot(3p)-(3p)^2=6p - 9p^2$$

$$\text{Observera att}\;(3p)^2=(3p)\cdot(3p)=9p^2.$$

Svar: \(f(3p)=6p-9p^2\)

I den algebraiska lösningsmetoden kan vi använda konstanter på samma sätt som vi använder tal som ingångsvärde i funktionen. Om vi använder en konstant får vi ett uttryck som beror på värdet på konstanten. Om exempelvis \(p=1\) i Exempel 3b) får vi:

$$f(3\cdot1)=f(3)=2\cdot(3)-(3)^2=6-9=-3$$

Syftet med att använda en konstant istället för ett tal är att kunna variera värdet på den och se hur uttryckets värde ändras.

Exempel 4

Figuren visar grafen till funktionen \(y= f(x)\).

Bestäm med hjälp av grafen

$$\text{a)}\;\; f(0)=?$$

$$\text{b)}\;\;f(x)=0$$

$$\text{c)}\;\;f(-1)=?$$

a)  Att bestämma \(f(0)\) innebär att vi ska bestämma \(y\) koordinaten för den punkten som har \(x\) koordinaten \(0\). På hela \(y\)-axeln är \(x=0\). Vi söker alltså punkten där funktionens graf skär \(y\)-axeln. Om vi tittar på grafen ser vi att detta sker vid \(y=-2\).
Svar: \(f(0)=-2\)
b)  Att bestämma \(f(x)=0\) innebär att vi ska bestämma \(x\) koordinaten för den punkten som har \(y\) koordinaten \(0\). På hela \(x\)-axeln är \(y=0\). Vi söker alltså punkten där funktionens graf skär \(x\)-axeln. Om vi tittar på grafen ser vi att detta sker vid två tillfällen, vid \(x=-2\) och \(x=1\). För att inte blanda ihop dem ger vi dem olika index.
Svar: \(x_1=-2\; \text{och}\;x_2=1\).
c)  Att bestämma \(f(-1)\) innebär att vi ska bestämma \(y\) koordinaten för den punkten som har \(x\) koordinaten \(-1\). Vi startar från \(-1\) på \(x\)-axeln och fortsätter gå parallell med \(y\)-axeln tills vi nuddar grafen till \(f(x)\). Sedan ska vi gå parallell med \(x\)-axeln tills vi kommer till \(y\)-axeln som är slutpunkten. Med hjälp av skalan på \(y\)-axeln läser vi av \(y\)-värdet enligt nedan:

Observera att vi kan få samma \(y\)-värde för två olika \(x\)-värden beroende på hur funktionen ser ut. Funktionen i Exempel 1 och 2 kallas för en linjär funktion. I den typen av funktioner ger varje \(x\)-värde endast ett \(y\)-värde. Funktionen i Exempel 3 och 4 kallas för en andragradsfunktion. I en andragradsfunktion kan två olika \(x\)-värde ge samma \(y\)-värde. Det finns bara en punkt i en andragradsfunktion som har endast ett \(x\)-värde och ett \(y\)-värde. Alla de andra \(y\)-värdena har två olika \(x\)-värden. Om vi tittar på grafen i Exempel 4 ser vi att bara \(x=-0,5\) ger endast ett \(y\)-värde \((y=-2,25)\).
Det går dock inte att få olika \(y\)-värde för samma \(x\)-värde. Enligt definitionen av en funktion ska varje \(x\)-värde ge endast ett \(y\)-värde! Om en funktions graf ser ut enligt nedan så innebär det att samma \(x\)-värde ger olika \(y\)-värden. Därför är \(g(x)\) och \(f(x)\) ingen funktion.

Exempel 5

Funktionen \(y=f(x)\) har värdetabellen:

Bestäm med hjälp av värdetabellen

$$\text{a)}\;\;f(1)=?$$

$$\text{b)}\;\;f(x)=-2$$

$$\text{c)  vad}\;\;f(1)-f(4)=?$$

a)  Att bestämma \(f(1)\) innebär att vi ska bestämma \(y\)-värdet för den punkten som har \(x\)-värdet \(1\). I tabellen ser vi att när \(x=1\) så är \(y=0\).

Svar: \(f(1)=0\)

b)  Att bestämma \(f(x)=-2\) innebär att vi ska bestämma \(x\)-värdet för den punkten som har \(y\)-värdet \(-2\). I tabellen ser vi att \(y=-2\) när \(x=3\).
Svar: \(x=3\).
c)  För att kunna bestämma \(f(1)-f(4)\) behöver vi först bestämma vad \(f(1)\) respektive \(f(4)\) blir. I uppgift a) såg vi att \(f(1)=0\). På samma sätt läser av från tabellen att när \(x=4\) så är \(y=-3\). Detta ger oss:
$$f(1)-f(4)=0-(-3)=3$$

Observera att vi behöver använda parenteser för att skydda det negativa tecknet!
Svar: \(f(1)-f(4)=3\)