Sannolikhet för en händelse

Sannolikhet är grenen inom matematik där vi lär oss om hur troligt det är att händelser inträffar. I detta avsnitt går vi igenom de grundläggande begreppen som sannolikhetsteorin bygger på, så som den klassiska sannolikhetsdefinitionen, komplementhändelse och relativ frekvens. Vi lär oss även hur vi matematiskt uttrycker sannolikheter.

Det finns situationer där vi inte säkert kan veta vad som kommer att hända. Om vi till exempel singlar en slant, då kan vi inte veta om myntet kommer att landa så att det visar krona eller klave. Om vi kastar myntet tillräckligt många gånger så kommer myntet att landa ungefär hälften av gångerna som krona och ungefär hälften som klave - resultatet i ett enskilt kast med myntet anses bero på slumpen, men sannolikheten att en viss händelse ska inträffa går att räkna ut.

Är det lika troligt att man får krona som att man får klave när man kastar myntet, säger man att sannolikheten att få krona är 0,5 och att sannolikheten att få klave är 0,5.

Sannolikheten brukar betecknas med P, från engelskans probability (som betyder just sannolikhet). Sannolikheten att få krona kan skrivas så här:

$$P(\text{krona})=0,5$$

och sannolikheten att få klave så här:

$$P(\text{klave})=0,5$$

Sannolikheten för att en viss händelse ska inträffa är alltid mellan 0 (kommer aldrig att ske) och 1 (kommer alltid att ske).

En sannolikhet på 0 innebär att händelsen kan förväntas inträffa i 0% av fallen, medan en sannolikhet på 1 innebär att händelsen kan förväntas inträffa i 100% av fallen - på motsvarande sätt innebär en sannolikhet på 0,5 att händelsen kan förväntas inträffa i 50% av fallen.

Sannolikheten för en händelse

Sannolikheten för en händelse A definieras enligt följande formel:

$$P(A)=\frac{\text{antalet gynnsamma utfall}}{\text{antalet möjliga utfall}}=\frac{g}{m}$$

För händelsen A gäller att: \(0≤P(A)≤1\)

Exempel

Vad är sannolikheten att slå en 5:a med en vanlig sexsidig tärning?

Antalet gynnsamma utfall = 1 (det finns bara en 5:a på tärningen)

Antalet möjliga utfall = 6 (en sexsidig tärning har såklart sex sidor och därför är sex olika utfall möjliga)

$$P(5)=\frac{1}{6}\approx0,167$$

Kastar vi en vanlig sexsidig tärning kan vi förväntas oss att den i ungefär 16,7% av fallen kommer att visa en 5:a.

Om vi låter händelsen A vara 1 eller 2 eller 3 eller 4 eller 5 eller 6, dvs alla möjliga utfall blir \(P(möjliga\;utfall)=1\)

Relativ frekvens – ta reda på sannolikheten genom experiment

Ibland när vi räknar på sannolikheter kan vi på förhand inte veta hur stor sannolikhet det är att ett visst utfall sker. I de fallen måste vi använda oss av experiment för att räkna ut vilken sannolikhet olika utfall har. Ett experiment ger bara en uppskattning av vad sannolikheten för ett utfall är. Ju fler experiment som görs, desto säkrare blir resultaten.

Kastar vi en hästsko med spikar i på golvet vet vi att det kan landa med spikarna upp eller ned. Men vi kan inte innan kastet veta vilken sannolikhet något av dessa utfall har.

Vi utför experimentet med hästskon. I första försöket kastar vi hästskon 30 gånger, i det andra försöket kastar vi den 150 gånger och i det tredje kastar vi den 400 gånger. Efter varje experiment räknar vi ut sannolikheten som vi kallar den relativa frekvensen. Den räknas ut med hjälp av sannolikheten för en händelse som nämnts tidigare. Resultaten kan ses i tabellen som följer.

Från tabellen kan vi avläsa olika sannolikheter beroende på hur många kast vi gör. Ju fler kast vi gör desto närmare sanningen kommer vi. Tabellen visar att det är högre sannolikhet att spikarna landar neråt än att spikarna landar uppåt. Efter att vi har gjort 400 kast visar det sig att sannolikheten är 65% att spikarna landar neråt och att sannolikheten är 35% att spikarna landar uppåt.
I många fall måste sannolikheter räknas ut på detta sätt och då får vi nöja oss med att sannolikheterna aldrig kommer att vara exakta, utan endast en uppskattning.

Sannolikhet uteslutande händelser

Antag att A och B är 2 händelser som inte kan hända samtidigt (uteslutande). Det innebär att

$$P(A\; eller\; B)=P(A)+P(B)$$

Exempel

Sannolikheten slå en sexa eller en trea. \(P(en\;sexa)=\frac{1}{6}\); \(P(trea)=\frac{1}{6}\)

$$P(Sexa \;eller\; Trea)=P(Sexa)+P(Trea)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$$

Komplementhändelse

Vad är sannolikheten för att inte slå en sexa när vi kastar en vanlig sexsidig tärning?

Vid den här typen av frågor brukar man tala om komplementhändelser. Komplementhändelsen till att vi slår en 6:a med tärningen är att vi slår något annat än en 6:a med tärningen (det vill säga, vi slår 1, 2, 3, 4, eller 5). Adderar vi sannolikheten för en händelse och sannolikheten för dess komplementhändelse ska summan bli 1 (antingen sker händelsen eller också sker dess komplementhändelse - något annat kan inte ske). Ifall händelsen vi är intresserade av betecknas med A och dess komplement med B, så gäller alltså

$$P(A)+P(B)=1$$

Komplementärhändelsen beräknas:

$$P(B) = 1-P(A)$$

För komplementhändelsen till att slå en 6:a med tärningen har vi fem gynnsamma utfall (1, 2, 3, 4, och 5) och sex möjliga utfall (1, 2, 3, 4, 5, och 6). Svaret på vad sannolikheten att inte få en sexa är:

$$P(ej\: 6)=\frac{5}{6}\approx0,83$$

Sedan tidigare vet vi att sannolikheten för att slå en 6:a med en sexsidig tärning är

$$P(6)=\frac{1}{6}\approx0,17$$

Sannolikheten för en händelse och dess komplementhändelse är ju alltid 1:

$$P(6)+P(ej\,6)=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=\frac{6}{6}=1$$