Linjära funktioner

I tidigare avsnittet gick vi igenom funktionsbegreppet och såg hur funktioner används för att beskriva samband mellan ett invärde och dess funktionsvärde. Den linjära funktionen \(f(x)\) är starkt relaterad till räta linjen varför resultat kan användas från den.

Vi kan skriva den linjära funktionen som \(f(x)=kx+m\). Att skriva den räta linjen som en funktion är användbart när man t.ex. studerar definitionsmängd och värdemängd.

En linjär funktion är en funktion vars graf utritad i ett koordinatsystem motsvarar en rät linje.

Grafen till den linjära funktionen \(f(x)=2x-2\)

Exempel:

Betrakta den linjära funktionen \(f(x)=x+5\).

Funktionsvärdet \(f(x)\) är beroende av vad vi sätter in för värde på \(x\). Exempelvis om \(x=2\) så blir \(f(2)=2+5=7\) eller om \(x=5\) så blir \(f(5)=5+5=10\).

När vi sätter in olika värden på \(x\) så får funktionen olika värden. Sambandet mellan \(x\)-värdet och funktionsvärdet kan visualiseras i en värdetabell.

Grafen för \(f(x)\) kan sedan ritas med hjälp av värdetabellen. Varje \(f(x)\) värde är ett \(y\)-värde i grafen, dvs \(y=f(x)\)

\(x\) i \(f(x)\) är den oberoende variabeln och \(f(x)\) är resultatet. Man använder olika beteckningar i olika fysiska sammanhang, t.ex. \(s(t)\) betecknar sträckan som funktion av tiden; \(v(t)\) betecknar hastigheten som funktion av tiden \(A(r)\) ytan som funktion av radien.

Om \(f(x)=kx\) innebär det att \(f(x)\) är proportionell mot \(x\). Det betyder att de två variablernas förhållande är konstant. Man säger att \(f(x)\) motsvarar en konstant multipel av \(x\).

Exempel:

Om du cyklar i \(25\) km/tim hur lång sträcka \(s\) kommer du på tiden \(t\). Skrivs \(s(t)=25t\). \(x\)-axeln beskriver tiden \(t\) och \(y=s(t)\).