Addition och subtraktion av bråk

I det här avsnittet undersöker vi räkneregler som gäller när vi adderar eller subtraherar bråk, när bråktermerna har samma eller olika nämnare.

Addera och subtrahera bråktal med gemensamma nämnare

Vid addition av bråktal med samma nämnare adderas täljarna och deras gemensamma nämnare behålls oförändrad.

Som ett exempel på detta har vi två bråktal nedan, med den gemensamma nämnaren \(5\). De kan adderas direkt på följande sätt:

$$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{1+2}{5}=\frac{3}{5}$$

På motsvarande sätt går det att subtrahera bråktal som har gemensamma nämnare. I sådana fall subtraherar vi täljarna i de båda bråktalen och låter deras gemensamma nämnare vara oförändrad.

Ett exempel på subtraktion av bråktal med gemensamma nämnare ser vi nedan:

$$ \frac{3}{5}-\frac{2}{5}=\frac{3-2}{5}=\frac{1}{5}$$

Addera och subtrahera bråktal med olika nämnare

Om bråktalen vi vill addera eller subtrahera har olika nämnare, kan vi inte utföra dessa beräkningar direkt. Vi måste först skriva om minst ett av bråktalen, så att de får gemensamma nämnare. Vad vi gör är att vi förlänger eller förkortar bråktalen, så att de får gemensamma nämnare. Den minsta gemensamma nämnaren (MGN) är användbar när vi ska addera eller subtrahera bråk med stora nämnarna. Därefter kan vi addera eller subtrahera bråktalen på samma sätt som vi såg i det förra delavsnittet ovan.

Vi vill beräkna följande summa:

$$\frac{1}{4}+\frac{1}{3}$$

Bråktalen ovan har inte gemensamma nämnare, därför måste de skrivas om först så att bråktalen får en gemensam nämnare.

Det enklaste sättet att hitta en gemensam nämnare för två bråktal, är att multiplicera de båda bråktalens nämnare med varandra. I det här fallet blir gemensam nämnare:

$$4\cdot3=12$$

Då kan båda bråktalen skrivas om så att de får nämnaren \(12\), vilket för det första bråktalet inträffar om vi förlänger det med \(3\) och för det andra bråktalet om vi förlänger det med \(4\). Förlängningen sker så att båda nämnaren och täljaren multipliceras med det tal vi förlänger med. Förlängning ändrar inte bråktalets värde. Vi gör det för varje bråktal som skall adderas. Därefter kan vi addera de båda bråktalen, som i det läget har den gemensamma nämnaren \(12\).

Gör vi det, så får vi följande summa:

$$\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{1\cdot3}{4\cdot3}+\frac{1\cdot4}{3\cdot4}=\frac{3}{12}+\frac{4}{12}=\frac{7}{12}$$

På motsvarande sätt gör vi när bråktal subtraheras. Om bråktalen har en gemensam nämnare, då är det bara att beräkna differensen mellan täljarna.

Däremot om bråktalen har olika nämnare vid subtraktion:

$$\frac{1}{7}-\frac{1}{5}$$

Skriv de bråktalen om så att de har gemensam nämnare och sedan är det bara att subtrahera täljarna:

$$ \frac{1}{7}-\frac{1}{5}=\frac{1\cdot 5}{7\cdot 5}-\frac{1\cdot 7}{5\cdot 7}=\frac{5}{35}-\frac{7}{35}=-\frac{2}{35}$$

I det här fallet blev resultatet negativt, vilket inte var oväntat, eftersom en sjundedel är mindre än en femtedel - då blir också differensen negativ.

Bråktal skrivna i blandad form

Ibland när man lägger ihop två bråktal kan man få en summa som är större än \(1\). Här är ett exempel på hur det kan hända:

$$\frac{3}{4}+\frac{2}{4}=\frac{5}{4}=\frac{4}{4}+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Detta resultat kan också skrivas som

$$1\frac{1}{4}$$

Och läses som ”ett heltal och en fjärdedel”. Ettan kallas för heltalsdel och en fjärdedel kallas för bråkdel. Vi säger att ett bråktal är skrivet i blandad form.

Att gå från blandad form till bråkform är enkelt och kan räknas på det här sättet:

I exemplet ovan börjar vi med att multiplicera heltalsdelen 3 med nämnaren 5, därefter adderas deras produkt 15 till täljaren 2, vilket ger 17 och nämnaren behålls oförändrad.

Sammanfattning av räkneregler för addition och subtraktion av bråk:

• $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{cb}{bd}=\frac{ad+cb}{bd}$$
• $$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}-\frac{cb}{bd}=\frac{ad-cb}{bd}$$