Uttryck och variabler

I det här avsnittet ska vi bekanta oss med begreppen matematiska uttryck och variabler. Att kunna använda dessa begrepp underlättar våra resonemang väldigt mycket. Det är en god idé att lära sig dessa begrepp då vi fortsättningsvis kommer använda oss av dem.
När man använder korrekta matematiska begrepp så underlättar detta många moment i matematikkurserna, men vissa begrepp är rent av nödvändiga att förstå för att kunna räkna uppgifter – om man inte förstår vad variabel är blir det omöjligt att lösa en uppgift som bygger på att man förstår variabler.
Man kan säga att motsatsen till en variabel är en konstant, ett annat viktigt begrepp i matematiken. Man kan kanske enklare memorera begreppen med en minnesregel eller genom att tänka på ordens ursprung och betydelse, så som att en variabel varierar och en konstant är ständigt (konstant) den samma.

För att förklara begreppen uttryck och variabel är det enklast att titta på ett exempel, där vi introducerar de båda begreppen:

En bokklubb erbjuder sina medlemmar att beställa böcker billigt. Bokklubben har en medlemsavgift på 100 kronor och utöver det kostar varje bok man som medlem beställer 20 kronor styck. Om vi ställer upp en tabell över hur mycket det kostar att köpa ett visst antal böcker, skulle det kunna se ut så här:

Vi har en fast kostnad, medlemsavgiften på 100 kronor, och en kostnad som varierar med antalet böcker man beställer. För att lättare kunna beskriva vad det kostar, oavsett vilket antal böcker man beställer, benämner vi antalet beställda böcker med \(x\).

Bokstaven \(x\) är då en variabel, eftersom dess värde (som anger antalet beställda böcker) varierar. Medlemsavgiften på 100 kronor förändras inte och kallas därför för en konstant. Även kostnaden på 20 kronor som tillkommer för varje bok som beställs är en konstant.

Kostnaden för ett godtyckligt antal böcker, det vill säga \(x\) stycken böcker, kan vi skriva som

$$100+20\cdot x$$

vilket kallas ett uttryck. Uttryckets värde, dvs summan av termerna, är i detta fall lika med kostnaden för ett godtyckligt antal böcker som framgår av högerledet i tabellen ovan.

Ett utryck som innehåller minst en variabel kallas för ett algebraiskt uttryck. Uttryck som bara innehåller konstanter kallas för numeriska uttryck, som

$$45+85-32\cdot 3$$

Ett multiplikationstecken mellan en variabel och ett annat tal (ett tal som vi i detta sammanhang kallar en koefficient) kan tas bort för att förenkla hur vi skriver utan att betydelsen förändras, så uttrycken på vardera sidan om likhetstecknet nedan betyder samma sak:

$$100+20\cdot x=100+20x$$

Nu har vi alltså formulerat kostnaden som ett algebraiskt uttryck med en variabel \(x\).

Om vi i detta läge vill veta vad köp av exempelvis 25 böcker kostar, så ersätter vi variabeln \(x\) i uttrycket med 25 (alltså, \(x = 25\)):

$$100+20\cdot 25=100+500=600$$

Att gå med i bokklubben och sen beställa 25 böcker kostar alltså totalt 600 kr. På samma sätt som ovan kan vi sätta in andra värden på variabeln \(x\) och därigenom kunna beräkna kostnaden för att köpa valfritt antal böcker. Det algebraiska uttrycket vi har formulerat kan vi alltså återanvända gång på gång, för att snabbt och enkelt kunna beräkna den totala kostnaden för köp av böcker via bokklubben.

I vårt exempel ovan valde vi att beteckna antalet böcker med bokstaven \(x\), men det går bra att använda också andra bokstäver beroende på vad som passar i sammanhanget. Om till exempel variabeln ska beteckna tid, är det vanligt att man använder bokstaven \(t\); ska man beteckna en sträcka, då använder man ofta \(s\), etc.