Definitionsmängd och värdemängd
I detta avsnitt studerar vi egenskaper hos funktioner, där vi lär oss om begreppen definitionsmängd och värdemängd. Definitions- och värdemängd är viktiga när man studerar när funktioner är giltiga.
Definitionsmängd
Exempel: Annas lön kan beskrivas med följande funktion, där \(x\) är antalet timmar som Anna har arbetat.
$$f(x)=80x$$
Men i funktionen som beskriver Annas lön så kan vi stoppa in negativa värden på \(x\). Till exempel om \(x=-1\) får vi att \(y=-80\) kr. Det kan tolkas som att Anna förlorar \(80\) kronor för varje timme hon inte arbetar.
Vi kan konstatera att för att funktionen ska beskriva Annas lön så kan vi inte tillåta negativa värden på variabeln \(x\). Värdet på \(x\) måste därmed vara större än eller lika med \(0\), dvs Anna arbetar som minst \(0\) timmar. Anna kan inte heller arbeta hur mycket som helst under en begränsad tid. Normalt arbetar man inte mer än \(40\) timmar per vecka.
Det betyder att det endast finns vissa värden för \(x\) där funktionen gäller - eller som det heter, där funktionen är definierad. Alla tillåtna \(x\)-värden kallas för funktionens definitionsmängd; detta är den mängd av värden på den oberoende variabeln som är tillåtna.
I fallet med Annas lön är definitionsmängden för en veckas arbete följande intervall.
$$0≤x≤40$$
Vi tolkar definitionsmängden i det här sammanhanget som att Anna kan arbeta noll timmar eller mer, upp till maximalt \(40\) timmar, per vecka.
Värdemängd
Varje tillåtet värde på \(x\)-axeln motsvarar ett specifikt värde på \(y\)-axeln. Alla möjliga värden som \(y\) kan anta kallas för funktionens värdemängd.
Exempel
För Annas lön är definitionsmängden alla värden på \(x\) från och med \(0\) till och med \(40\), vilket motsvarar en värdemängd från och med \(0\) kr till och med \(3\,200\) kr. Dvs om Anna arbetar \(0\) timmar får hon \(0\) kr i lön medan om Anna istället arbetar \(40\) timmar får hon \(80\cdot40=3\,200\) kr i lön.
Värdemängden skrivs
$$0≤y≤3200$$
Definitionsmängd och Värdemängd Grafiskt
Eftersom en funktion kan representeras grafiskt, vill vi även kunna representera när definitionsmängden och/eller värdemängden är begränsad. Detta görs med öppna och ifyllda ringar vid funktionens ände, beroende på om ändpunkten ingår eller inte. När ringen är tom ingår punkten inte i intervallet.
Exempel
I grafen nedan ser vi en funktion med definitionsmängden
$$2≤x<10$$
Samt värdemängden
$$2<y≤10$$
Här går vi igenom begreppen definitionsmängd och värdemängd.
- Definitionsmängd: Alla värden som en funktion är definierad på, det vill säga alla värden som den oberoende variabeln kan anta.
- Värdemängd: Alla möjliga funktionsvärden som en funktion kan anta, vilket är begränsat av den oberoende variabelns tillåtna värden.
- Variabel: Ett värde som kan ändras.
- En funktion \(f(x)\): Läses \(f\) av \(x\), kan beskrivas av en ekvation, en tabell eller en graf. Funktionen kan skrivas i from av \(y=f(x)\), \(y\) är den beroende variabeln och \(x\) är den oberoende variabeln. Dvs. \(y\)-värden beror på \(x\)-värden. \(f(x)\) kan vara en konstant, multiplar av \(x\), potenser av \(x\), samt en summa av en eller flera av dessa termer.