Överslagsräkning

I vardagslivet kan det ibland vara svårt att beräkna exakta värden.

Om vi till exempel handlar mat kan vi vilja få fram ett ungefärligt värde på vad det kommer att kosta. Då kan vi göra en överslagsräkning för att få fram ett ungefärligt svar på kostnaden.

I det här avsnittet kommer vi därför att gå igenom hur man använder överslagsräkning och vad man bör tänka på vid sådana beräkningar.

Addition och subtraktion

Vid addition och subtraktion avrundar vi värdena till närmaste tiopotens. Om vi har summan

$$42+36+78$$

kan vi avrunda termerna till närmaste tiotal och få

$$40+40+80=160$$

Hade vi räknat ut summan exakt så hade vi fått

$$42+36+78=156$$

Vi ser att våra avrundningar har gett ett resultat som är ganska nära det exakta svaret. Om det var tillräckligt nära beror på situationen - står du i kassakön i en livsmedelsbutik, då räcker troligtvis svarets noggrannhet.

Vid avrundning avrundar man alltid till en bestämd tiopotens. Det kan vara tiotal, som i exemplet ovan, eller hundratal, tusental, tiondelar, hundradelar, osv.

Om vi tar talet \(42\) i det ovanståendet exemplet, så undersöker vi den sista siffran (i det här fallet \(2\):an) som vi kallar avrundningssiffra och det är den siffran som bestämmer om vi ska avrunda uppåt eller neråt. Om avrundningssiffran är \(5\) eller högre, så avrundar man uppåt, och är den \(4\) eller lägre, så avrundar man neråt.

Multiplikation

Vid multiplikation gäller detsamma som för addition och subtraktion, sett till hur vi avrundar. Här är det dock viktigt att vi är medvetna om vilket håll vi avrundar talen till och hur mycket talen avrundas, då faktorernas avrundning kan ha en stor påverkan på produktens storlek.

Om vi exempelvis har produkten

$$3,4\cdot 44$$

Enligt avrundningsiffran (i båda faktorerna är avrundningssiffran \(4\)) ska båda faktorerna avrundas nedåt. Vid avrundning får vi därför

$$3,4\cdot 44\approx 3\cdot 40=120$$

Eftersom vi avrundade nedåt är det viktigt att komma ihåg att produkten är en underskattning. Hur stor underskattningen är beror på hur mycket talen avrundades nedåt. I detta fall avrundades den högra faktorn relativt mycket (\(4\) ental nedåt) och det har en stor påverkan på produkten.

Vad skulle hända om vi avrundade båda talen uppåt? Vi testar, trots att detta inte är rätt enligt avrundningsreglerna.

$$3,4\cdot 44\approx4\cdot 50=200$$

Denna produkt är nu istället en överskattning och jämför vi det med produkten innan ser vi att de skiljer sig åt: \(200-120=80\).

Hur bra uppskattningar var detta då? Vi räknar ut den exakta produkten och jämför.

$$3,4\cdot 44=149,6$$

Överslagsberäkningarna var en bit ifrån det rätta svaret. Det viktiga är därför att vara medveten om hur mycket talen avrundas och åt vilket håll. Detta för att avgöra storleken på underskattningen respektive överskattningen.

Division

Vid division gäller samma som för multiplikation, addition och subtraktion, sett till hur vi avrundar. Här är det dock viktigt att vi avrundar båda talen åt samma håll. Om talen avrundas åt två olika håll kommer det ha större påverkan på kvoten och öka osäkerheten på svaret.

Osäkerhet i mätningar

Att de tal man använder vid beräkningar är avrundade är mycket vanligt, särskilt om talen uppkommit genom någon typ av mätning.

Frågan är hur exakta de tal man använder egentligen är, vilket gällande siffror svarar på.

Om Anton säger att han har \(500\) meter till mataffären, betyder det då att det är exakt \(500\) m dit?

\(500\) meter kan betyda \(5,00\cdot10^2\) meter eller \(5,0\cdot10^2\) meter eller \(5\cdot10^2\) meter. Det är sammanhanget som får avgöra om det är en, två eller tre siffrors noggrannhet som avses.

Antagligen är det avrundat och om han skulle ta ett (väldigt långt) måttband och mäta avståndet mellan sitt hem och mataffären, så skulle han kanske få det till \(537\) m.

Anton har troligen bara avrundat avståndet till hela hundratal när Anton säger att det är \(500\) m till affären.

Man brukar tala om en inbyggd osäkerhet i alla mätningar. Måttbandet kan ha hamnat lite snett eller så tryckte vi kanske inte på tidtagaruret precis samtidigt som personen började springa \(500\) m på löparbanan.

För att tala om hur stor osäkerhet det finns i en mätning kan man säga att ju fler siffror man tar med, desto mer exakt förutsätts värdet vara. Säger Anton att det är \(500\) m till affären, betyder det antagligen att sträckan är mellan \(450\) och \(550\) m lång, om han säger att det är \(537\) m, om han mätt med ett måttband, betyder det antagligen att sträckan är mellan \(536,5\) och \(537,5\) m lång, vilket är ett mycket mer exakt värde.