Upptäcka mönster och generella samband

I detta avsnitt ska vi gå igenom hur man finner generella samband. För att vara säker på att man hittat ett generellt samband så måste det gälla för fler exempel eller ett mönster som upprepar sig enligt ett visst samband.

Hitta generella mönster och talföljder med konstant förändring

Ett generellt samband är till exempel ett mönster som beskriver en förändring som upprepar sig. Det kan vara ett föremål till exempel punkter som ligger i ett mönster som ökar eller minskar. Det kan även vara en talföljd som minskar eller ökar. När vi beskriver ett generellt samband som ökar eller minskar så kan detta oftast beskrivs med hjälp av en formel.

När vi skall beskriva ett mönster med hjälp av en formel så används vissa bokstäver. Vanligt är att använda \(n\) för att beskriva figurens nummer och a för att beskriva antalet element.

Ökande mönster:

I mönstret nedan så är \(n=\;\text{Figur 1}, 2\;\text{eller}\;3\) och \(a_n=\;\text{antal punkter i varje figur}\).

Vi ser i detta exempel att punkterna ökar med en punkt för varje figur om man tittar nerifrån. Man kallar det differensen \(d=1\). Vi får en talföljd med tre element

$$a_1, a_2, a_3=2, 3, 4$$

Om vi vet värdet av ett element, \(a_n\), kan vi i detta fall enkel beräkna nästa, \(a_{n+1}\).

$$a_{n+1}=a_n+d$$

där \(d=1\)

Detta är en rekursiv formel som används för att stega sig fram i en talföljd eller mönsterutveckling där man får nästa tal genom att utgå från den föregående elementet i talföljden. En rekursiv formel kan vara opraktisk om talföljden är lång och vi vill beräkna t.ex. det miljonte elementets värde.

Ett annat sätt att matematiskt beskriva talföljden i detta exempel är formeln

$$a_n=a_1+(n-1)\cdot d$$

där \(d=1\)

som är en explicit formel som kan användas för att direkt kunna beräkna värdet på ett godtyckligt element.

Om vi till exempel ska beräkna \(a_3\) så får vi \(a_3=a_1+(3-1)\cdot1=2+2=4\)

Vi ser i formeln \(a_n=a_1+(n-1)\cdot d\) att vi alltid startar med första värdet \(a_1\) och sen lägger vi till antal differenser. Vi ser i mönstret ovan att det är \(2\) stycken differenser mellan Fig1 och Fig3. Antal differenser är alltid \((n-1)\) som vi ser i formeln, oavsett vilket värde differensen har.

Minskande mönster:

Om vi istället låter Figur 1 bestå av fyra punkter och sen Figur 2 bestå av \(3\) punkter och Figur 3 bestå av \(2\) punkter. Vi har en minskning av antal punkter dvs. differensen \(d=-1\)

Den rekursiva formeln blir

$$a_{n+1}=a_n+d$$

där \(d=-1\)

och den explicita formeln är som tidigare

$$a_n=a_1+(n-1)\cdot d$$

där \(d=-1\)

Hitta generella mönster och talföljder utan konstant förändring

Om differensen inte är konstant hur gör vi då?

Då differensen inte är konstant så får vi i stället se om det finns något annat som hjälper oss att finna sambandet.

Vi har till exempel talföljden där differensen inte är konstant:

$$1, 4, 9, 16, 25, 36, ...$$

Då kan vi se att (\(1=1\cdot1\)), (\(4=2\cdot2\)), (\(9=3\cdot3\)), (\(16=4\cdot4\)), (\(25=5\cdot5\)) och (\(36=6\cdot6\))

Vi får att: \(a_n=n^2\)

Vi provar formeln och ser om vi får den rätta talföljden:

$$a_1=1^2=1, a_2=2^2=4, a_3=3^2=9, a_4=4^2=16, a_5=5^2=25\;\text{och}\;a_6=6^2=36$$

Vi ser att \(a_n=n^2\) stämmer.

Vi kan visa talföljd som ett mönster som har samma element som talföljden \(1, 4, 9, 16\):

Vi kan ta ett annat exempel då mönstret inte har en konstant differens:

Talföljden är \(2, 6, 12\)

Då kan vi hitta sambandet

$$2=1\cdot2,\;\;\;\;6=2\cdot3,\;\;\;\;12= 3\cdot4$$

Vi ser att siffran \(1\) växer med ett steg till \(2\) och sedan \(3\) och samtidigt växer \(2\) till \(3\) och sedan till \(4\).

Vi kan därför skriva \(a_n=n\cdot(n+1)\)

Vi provar denna formel

\begin{align*}
a_1&=1\cdot(1+1)=2\\
a_2&=2\cdot(2+1)=6\\
a_3&=3\cdot(3+1)=12
\end{align*}

Vi ser att det stämmer.

Anledningen till att man vill ta fram en formel som t.ex. \(a_n=n\cdot(n+1)\) är för att kunna ta fram vad t.ex. \(100\):de elementet är:

$$a_{100}=100\cdot(100+1)=100\cdot101=10\,100$$

Om vi har talföljden: \(1, 3, 9, 27, ...\)

$$a_1=1,\;\;a_2=3,\;\;a_3=9,\;\;a_4=27$$

Så ser vi att det inte är en konstant differens.

Vi ser att \(3\cdot1=3,\;\;\;3\cdot3=9,\;\;\;3\cdot9=27,\;\;\; …\)

Vi ser att varje tal i talföljden bildas genom att muliplicera \(3\) med föregående tal, utom talet \(1\) som inte har något föregående tal. Vi kan skriva:

$$a_1=1\;\text{och}\;a_n=3\cdot a_{n-1}$$

Vi provar denna formel för att räkna ut fjärde talet

$$a_4=3\cdot a_3=3\cdot 27=81$$

Vi ser att formeln stämmer.

Om vi har talföljden: \(20, 18, 15, 11, ...\)

$$a_1=20, a_2=18, a_3=15, a_4=11$$

Så ser vi att \(20-2=18,\;\;\;18-3=15,\;\;\;15 -4=11\)

Vi ser att talföljden minskar med föregående tal minus talföljdens nummer, utom talet \(1\) så vi kan skriva:

$$a_1=20\;\text{och}\;a_n=a_{n-1}-n$$

Vi provar med \(n=4, 3, 2\)

\begin{align*}
a_4&=a_3-4=15-4=11\\
a_3&=a_2-3=18-3=15\\
a_2&=a_1-2=20-2=18
\end{align*}

Om vi har talföljden: \(1, 4, 8, 13, ...\)

Vi ser att differensen ökar från \(3\) mellan \(1\) och \(4\) till \(4\) mellan \(4\) och \(8\) och \(5\) mellan \(8\) och \(13\). Så differensen ökning är konstant \(3\) till \(4\) till \(5\)

Differensen \(=3\) mellan \(1\) och \(4\) medför att

\begin{align*}
a_2&= a_1+3\\
a_2&=1+3=1+(2+1)=4\\
a_n&=a_{n-1}+ (n+1)
\end{align*}

$$\text{Samt}\;a_1= 1$$

Vi provar att formeln på elementen

\begin{align*}
a_2&=1+(n+1)=1+2+1=4\\
a_3&=4+(n+1)=4+3+1=8\\
a_4&=8+(n+1)=8+4+1=13
\end{align*}

Det medför att formeln \(a_n=a_(n-1)+ (n+1)\) stämmer

Generella samband som inte är mönster eller talföljder

Men generella samband behöver inte bara vara mönster och talföljder det finns andra generella samband. För att det ska vara ett generellt samband så måste man kunna visa att det gäller för fler exempel. Vi visar med några exempel hur vi kan hitta generella samband. Oftast används Algebra för att visa detta.

Vi tänker att vi ber en person att ta ett kort ur en kortlek och se vilken siffra det motsvarar där knekt är \(11\), dam \(12\), kung tretton och ess fjorton. Vi säger att personen ska komma ihåg kortets värde och göra följande:

1. Ta talets värde och multiplicera det med \(4\)
2. Lägg till \(16\)
3. Dividera uttrycket med 4

Kalla talets värde som personen dragit \(=x\)

Vi utför punkt \(1\) till \(3\) och får

$$\frac{4x+16}{4}=x+4$$

Vilket tal \(x\) personen dragit ur kortleken så blir resultatet alltid \(x + 4\).

Vi säger till personen som drog kortet att det kortet som drogs minskat med \(4\) är det kortet som personen drog.
Detta är ett exempel som går att utföras många gånger och vi får varje gång samma resultat vilket medför att detta är ett generellt samband.

Vi tar ett till tänkt exempel

En gummisnodd läggs i en cirkel med diametern \(d\) cm.

Vi drar i gummisnodden så diametern blir \(20\%\) cm längre. Sen släpper vi gummisnodden så den blir \(20\%\) mindre.

Med hjälp av Förändringsfaktorn kan vi beräkna hur gummisnodden först fick en större diameter då den ökade med \(20\%\) och sen minskade med \(20\%\). Först ökade diametern med Förändringsfaktorn \(1,20\). Sedan minskade detta värde \((d\cdot1,20)\) med \(20\%\) som är detsamma som att multiplicera med Förändringsfaktorn \(0,8\).

Vi får ekvationen:

$$d\cdot1,20)\cdot0,80=d\cdot0,96$$

Oavsett vad diametern var från början så är diametern alltid \(0,96\) multiplicerat med diametern efteråt om vi utför samma procedur.
Detta exempel går att utföras många gånger och man får alltid samma svar, så detta är också ett generellt samband.

Historisk not

Talföljden \(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...\) är känd som Fibonaccis talföljd. Varje tal är summan av de två föregående och de två första är \(0\) och \(1\).

Leonardo Pisano Fibonacci använde dem för att beskriva tillväxten hos kaniner i början på 1200-talet. Talen beskriver antalet kaninpar i en grupp kaniner efter \(n\) månader om man gör ett antal antaganden.

Den rekursiva formeln fibonacci-talen är enkel

\(a_n=a_{n-2}+a_{n-1}\) med startvärdena \(0\) och \(1\)

Den explicita formeln är inte enkel att komma på och den formulerades först på början av 1800-talet av den franske matematikern Jacque Binet.

$$a_n=\frac{\left(1+\sqrt5\right)^n-\left(1-\sqrt5\right)^n}{2^n\sqrt5}$$

Leonardo av Pisa (Leonardo Fibonacci, Leonardo Pisano, Leonardo från Pisa eller bara Fibonacci), född i Pisa runt 1170, död cirka 1250, räknas som en av Italiens och världens största matematiker. Fibonacci växte upp i Algeriet då hans far hade anställning där, men återvände till Pisa runt år 1200.

Jacques Philippe Marie Binet, född den 2 februari 1786 i Rennes, död den 12 maj 1856 i Paris, var en fransk matematiker, fysiker och astronom. Han är också erkänd som den första att beskriva regeln för att multiplicera matriser 1812, och Binets formel som uttrycker Fibonaccital i sluten form namnges till hans ära.