Träddiagram

När det gäller beroende och oberoende sannolikheter, handlar det ofta om sannolikheter som sker i följd. I dessa fall är det lämpligt att använda träddiagram. I varje steg markerar vi sannolikheterna för respektive händelse.

Räkneregler för träddiagram

1. Sannolikheten för en gren (ett utfall) i ett träddiagram är lika med produkten av sannolikheterna längs grenen. Kallas multiplikationsprincipen.

2. Sannolikheten för en händelse är summan av sannolikheterna för de olika grenarna (utfallen) i ett träddiagram som ingår i händelsen.

Vi betraktar följande diagram för att beskriva räknereglerna. \(P(\text{händelse}_1)=p_1\), \(P(\text{händelse 2 som följer händelse}_1) = p_2\), resten markerat i trädet. \(p_1\) kan tex vara \(P(\text{träffa skott 1})\), och \(p_2\) \(P(\text{träffa skott 2, givet träff skott1})\) osv.

1. Multiplikationsprincipen längs en trädgren innebär att \(p_1\) och \(p_2\) kan multipliceras för att bilda \(P(A)=p_1\cdot p_2\), även i de fall händelsen 2 beror av händelsen 1.

Vidare är \(P(B)=p_1\cdot(1-p_2)\); \(P(C)= (1-p_1)\cdot p_2\); \(P(D)=(1-p_1)\cdot(1-p_2)\).

2. T ex \(P(\text{en träff})=P(B\;eller\;C)=P(B)+P(C)=p_1\cdot(1-p_2)+(1-p_1)\cdot p_2\).

$$P(\text{minst en träff})=P(A)+P(B)+P(C)=1-P(D)$$

$$P(A\; eller\; B\; eller\; C\; eller\; D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1$$

Exempel

Nedan finns ett diagram som representerar ett exempel av oberoende händelser där vi med en tärning först vill slå en femma följt av en sexa.

Vid det första kastet hade vi en sannolikhet på \(\frac{1}{6}\) att slå en femma.

Sannolikheten för komplementhändelsen, det vill säga att inte slå en femma på första kastet, är \(\frac{5}{6}\) och är markerat i rött i den högra grenen. Eftersom vi inte är intresserade av att göra ett andra kast efter att vi misslyckats att slå en femma, så avslutas den högra grenen efter det första kastet.

I den vänstra grenen fortsätter vi efter att ha fått en femma på första kastet, och skapar två nya grenar med sannolikheterna för att slå en sexa, samt sannolikheten för komplementhändelsen. Som vi beräknat tidigare är sannolikheten att slå en sexa lika med \(\frac{1}{6}\) och sannolikheten för att inte slå en sexa är lika med \(\frac{5}{6}\) och är markerat med rött.

Multiplicerar vi de värden som leder till slutet av de två gröna grenarna får vi sannolikheterna \(\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}\) för att lyckas att slå en femma följt av en sexa. Motsvarande, får vi sannolikheten \(\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}= \frac{5}{36}\) att misslyckas med vårt andra kast.

Genom att använda träddiagram ser man alla möjliga utfall och kan även kontrollera att man räknat rätt genom att summera sannolikheterna vid slutet av varje gren.

$$\frac{1}{36}+\frac{5}{36}+\frac{5}{6}=\frac{1}{36}+\frac{5}{36}+\frac{30}{36}=1$$

Eftersom summan blir lika med 1, vet vi att vi har räknat rätt och täckt alla möjliga utfall.

Exempel beroende händelser.

Två trafikljus efter varandra har en sk grön våg. Dvs om ljus 1 är grönt så är sannolikheten att ljus 2 är grönt högre. Om ljus 1 är rött är det samma sannolikhet att ljus 2 är rött.

Givet \(P(\text{Ljus 1 grönt})=0,4\), grön våg => \(P(\text{Ljus 2 grönt})=0,7\), \(P(\text{Ljus 1 rött})=0,6\)

P(2 gröna ljus i rad) = P(Ljus 1 grön) ∙ P(Ljus 2 grön) = 0,4 ∙ 0,7 = 0,28 => 28%

P(2 röda ljus i rad) = P(Ljus 1 röd) ∙ P(Ljus 2 röd) = 0,6 ∙ 0,6 = 0,36 => 36%

P(Ett ljus grönt och ett ljus rött) = P(Ljus 1 grönt) ∙ P(Ljus 2 rött) + P(Ljus 1 rött) ∙ P(Ljus 2 grönt) = 0,4 ∙ 0,3 + 0,6 ∙ 0,4 = 0,36 => 36%

$$P(\text{alla fall})=28\%+36\%+36\%=100\%$$

Komplementhändelse

I avsnittet ”Sannolikheten för en händelse” konstaterade vi att \(P(B)=1-P(A)\) om A och B är 2 oberoende händelser. B kallas också \(A^C\) (C=complementary=komplement), Dvs \(P(A^C)=1-P(A)\). Komplementhändelse kan också användas för en serie av händelser.

Exempel oberoende händelser

Kasta en tärning 5 gånger och beräkna P(minst en sexa). Att rita ett träd blir omfattande. Sannolikheten kan beräknas med hjälp av komplementhändelse:

$$P(\text{minst en sexa})=1-P(\text{ingen sexa på fem kast})=$$$$=1-P(\text{ingen sexa i kast}\;1)\cdot ... \cdot P(\text{ingen sexa på kast}\;5)=$$$$=1-\left(\frac{5}{6}\right)^5≈1-0,4≈0,6$$

Exempel – beroende händelser

Ur en urna med 4 svarta och 6 vita dras 3 kulor utan återläggning. Beräkna P(minst en svart kula).

I träddiagrammet tar man hänsyn till att det minskar med en svart eller vit. Totala antalet kulor minskar också.

I alla grenar utom den till höger förekommer svarta kulor.

$$P(\text{minst en svart kula})=P(3\;\text{svarta i rad})+$$$$+3\cdot P(2\;\text{svarta och 1 vit})+3\cdot P(\text{1 svart och 2 vita})\;\text{(beräknas som övning).}$$ Ett enklare sätt är att beräkna komplementhändelsen \(1-P(\text{endast vita})\) som är samma sak som \(P(\text{minst en svart})\).

$$P(\text{minst 1 svart efter 3 dragningar})=1 – P(\text{3 vita kulor})=$$$$=1 - \frac{6}{10}\cdot\frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}=\frac{5}{6}$$