Ny LCD-TV

Laila har tröttnat på sin 29 tums tjock-TV i 4:3-format och tänkte byta upp sig rejält och skaffa en toppmodern 46 tums LCD-TV i 16:9-format.

4:3-format innebär att bredden är 4/3 gånger höjden.

Storleken på respektive TV (t.ex. 29 tum) är längden på diagonalen. En tum motsvarar 2,54 cm.

Vilka mått (bredd och höjd i cm) har den nya TVn och hur många procent större är bildytan på den än på den gamla TVn?

Lösningsförslag:

Vi kallar diagonalen på LCD-TVn för d (cm):

$$d = 46 \cdot 2,54 = 116,84 \text{ cm}$$

Låt nu x vara lika med skärmens höjd:

Bredden är då 16x/9.

Vi kan nu bestämma x med hjälp av Pythagoras sats:

$$\begin{align} x^{2}+ \left( \frac{16}{9}x \right)^{2}= & d^{2} \\ x^{2}+\frac{256}{81}x^{2}= & d^{2} \\ \frac{337}{81}x^{2}= & d^{2}\\ x^{2}= & \frac{81}{337}d^{2}\\ x= & \frac{9}{\sqrt{337}}d \\ x = & \frac{9}{\sqrt{337}}\cdot 116,84 \\ x=& 57,2821\end{align}$$

Vi kallar diagonalen på tjock-TVn för f.

$$ f = 29 \cdot 2,54 = 73,66 \text{ cm}$$

Låt nu y vara lika med skärmens höjd:

Bredden är då 4y/3.

Vi kan nu bestämma y med hjälp av Pythagoras sats:

$$\begin{align} y^{2}+\left( \frac{4}{3}y \right)^{2}= & f^{2} \\ y^{2}+\frac{16}{9}y^{2}= & f^{2} \\ \frac{25}{9}y^{2}= & f^{2} \\ y^{2}= & \frac{9}{25}f^{2}\\ y= & \frac{3}{5}f \\ y= & \frac{3}{5}\cdot 73,66 \\ y = & 44,196\end{align}$$

Bredd: \( \frac{4y}{3} = \frac{4}{3} \cdot 44,196 = 58,928 \text{ cm}\)

Area: \(58,928 \cdot 44,196 = 2604,3819 cm^2 \approx 2600 cm^2 \)

Förändringsfaktor för arean: \(\frac{5833,3169}{2604,3819} = 2,2398\)

vilket motsvarar en procentuell förändring på:

$$100\% \cdot (2,2398 - 1) = 123,98\% \approx 120 \%$$

Den nya LCD-TVn har en bildyta med bredd 102 cm och höjd 57 cm. Arean är 120% större än på den gamla TVn.