Olika typer av funktioner

Det finns många sorters funktioner, bland annat linjära funktioner, potensfunktioner och exponentialfunktioner. I detta avsnitt ska vi gå närmare på skillnaderna och likheterna mellan dessa.

Förändringar händer överallt med tiden, som vi ofta kan förklara med hjälp av någon form av matematisk funktion. En formel som beskriver hur förändringar sker kallas för en matematisk modell.
Matematiska modeller kan se olika ut - den kan vara linjär, när man har en konstant förändring över tid. Men om det är upprepade procentuella förändringar, kommer den matematiska modellen vara exponentiell.

Potensfunktioner och Exponentialfunktioner – när förändringen inte är linjär

Potensfunktioner har formen \(x^t\), där \(t\) är en känd konstant som motsvarar tiden. Potensfunktionerna används för att lösa problem när vi vill veta hur fort något förändras, eller hur stora förändringar är.

Exempel

Nedan ser vi en graf för hur olika potensfunktioner beter sig beroende på vilken exponent man har. Enligt potenslagarna så leder en negativ exponent till att funktionen blir ett bråk med variabeln i nämnaren, dvs \(x^{-n}=\frac{1}{x^n}\)

Exponentialfunktioner har en liknande form som potensfunktioner, \(a^x\), där skillnaden är vad som är variabel och vad som är konstant. Exponentialfunktioner används när vi känner till förändringsfaktorn, och söker efter hur lång tid en förändring tar.

Exempel

Nedan kan vi se i en graf hur några vanliga exponentialfunktioner beter sig, och vi kan se att de är avtagande om basen är mindre än \(1\) – då multiplicerar man ett tal mindre än \(1\) med sig självt upprepade gånger. Den produkten kommer bli mindre och mindre ju fler gånger man multiplicerar talet med sig självt. Notera att \(a^{-x}=\left(\frac{1}{a}\right)^x\)

Funktionernas olika hastigheter

Den stora skillnaden mellan dessa tre sorters funktioner är hur fort de växer. För linjära funktioner är förändringen konstant när \(x\) växer, medan både potensfunktioners och exponentialfunktioners förändring accelererar när \(x\) växer.

För små värden kan potens- och exponentialfunktioner verka växa långsamt. Men så länge basen för en exponentialfunktion är större än \(1\), så kommer exponentialfunktioner att alltid växa om potensfunktionerna, även om det ibland kan ta tid.

Exempel

Nedan har vi en graf där vi jämför den linjära funktionen \(y=2x\), potensfunktionen \(y=x^2\) samt exponentialfunktionen \(y=2^x\), och vi kan se att exponentialfunktionen växer om potensfunktionen när \(x\) är lika med \(4\).