Upprepade procentuella förändringar

I avsnittet om förändringsfaktor lärde vi oss hur vi kunde beskriva förhållandet mellan det gamla och det nya värdet. I detta avsnitt visar vi hur vi bestämmer total förändringsfaktor när det skett flera förändringar.

När vi har upprepade förändringar och vi vill veta hur stor den totala förändringsfaktorn är kan vi räkna ut den genom att multiplicera alla förändringsfaktorer enligt nedan:

$$\texttt{F-faktor}_{\texttt{total}} = \texttt{F-faktor}_1\cdot \texttt{F-faktor}_2\cdot \texttt{F-faktor}_3\cdot…$$

\(\texttt{F-faktor} \equiv\texttt{Förändringsfaktor}\)

Exempel 1:

En dator kostar \(5\;000\) kronor. Företaget har \(20\%\) rea. Medlemmar får ytterligare \(10\%\) rabatt på alla produkter.

1. Bestäm den totala förändringsfaktorn om du väljer att bli medlem.
   
   Först behöver vi bestämma förändringsfaktorerna:
   \(20\%\) rea innebär en minskning med \(20\% = 0,20\). Detta ger förändringsfaktorn \(0,80\).
   Ytterligare \(10\%\) rabatt innebär en minskning med \(10% = 0,10\). Detta ger förändringsfaktorn \(0,90\).
   Den totala förändringsfaktorn blir:
   $$\texttt{F-faktor}_{\texttt{total}} = \texttt{F-faktor}_1\cdot \texttt{F-faktor}_2=0,80\cdot0,90=0,72$$

   ---

2. Hur mycket ska en medlem betala för datorn?
   
   I avsnittet förändringsfaktor lärde vi oss hur vi kunde bestämma nya värdet om vi kände till gamla värdet och förändringsfaktorn. Den formeln använder vi när vi har upprepade förändringar också. Men vi använder den totala förändringsfaktorn i stället.
   
   $$\begin{align}Nya\;värdet=Gamla\;värdet\cdot\texttt{F-faktor}_{\texttt{total}}&=\\ \qquad\qquad\quad=5\,000\cdot0,72=3\,600\;\texttt{kronor}\end{align}$$

   ---

3. Hur stor är den sammanlagda rabatten om du väljer att bli medlem?
   
   Eftersom den totala förändringsfaktorn är \(0,72\) innebär det en minskning med \(1-0,72=0,28\). Detta motsvara \(28\%\) rabatt.

Exempel 2:

Värdet på en ny bil beräknas minska med \(10\%\) per år.

1. Bestäm den totala förändringen i procent under de första fem åren.
   
   Först behöver vi bestämma förändringsfaktorn:
   \(10\%\) värdeminskning \(= 0,10\). Detta ger förändringsfaktorn \(0,90\).
   Den totala förändringsfaktorn blir:
   $$\begin{align}\texttt{F-faktor}_{\texttt{total}} &= \texttt{F-faktor}_1\cdot \texttt{F-faktor}_2\cdot...\cdot \texttt{F-faktor}_5\\ \texttt{F-faktor}_{total}&=0,90\cdot0,90\cdot0,90\cdot0,90\cdot0,90=\\&=0,9^5=0,59049\approx0,59\end{align}$$
   Eftersom den totala förändringsfaktorn är \(0,59\) innebär det en värdeminskning med:
   \(1-0,59=0,41\). Detta motsvarar \(41\%\) värdeminskning under de första fem åren.
   
   OBS! Vi behöver inte veta vad bilen kostade från början för att kunna räkna ut den procentuella förändringen under en viss tid.

   ---

2. Hur mycket kostade bilen när den var ny om den är värd \(150\,000\) kronor efter fyra år?

Vi behöver lösa ut Gamla värdet ur sambandet för totala förändringsfaktorn:

$$Nya\;värdet= Gamla\;värdet\cdot \texttt{F-faktor}_{\texttt{total}}$$

Detta ger oss:

$$Gamla\;värdet=\frac{Nya\;värdet}{\texttt{F-faktor}_{\texttt{total}}}$$

där den totala förändringsfaktorn för fyra år blir:

$$\begin{align}\texttt{F-faktor}_{\texttt{total}} &= \texttt{F-faktor}_1\cdot \texttt{F-faktor}_2\cdot...\cdot \texttt{F-faktor}_4\\ \texttt{F-faktor}_{total}&=0,90\cdot0,90\cdot0,90\cdot0,90=\\&=0,90^4=0,6561\end{align}$$

$$\begin{align}Gamla\;värdet&=\frac{Nya\;värdet}{\texttt{F-faktor}_{\texttt{total}}}=\\&=\frac{150\,000}{0,6561}=228\,623,685\approx 230\,000 \;\texttt{kronor}\end{align}$$