Säker vinst

Spelbolag A respektive spelbolag B har satt följande odds inför tennismatchen mellan Roger Federer och Robin Söderling:

Ett odds på 1,5 gånger pengarna innebär att om du satsar 10 kr, blir vinsten:

$$ 1,5 \cdot 10 = 15 \text{ kr}$$

ifall det blir rätt utfall i matchen. Nettovinsten är alltså differensen mellan vinsten och insatsen: 15 - 10 = 5 kr.

Utifrån de odds som är satta av spelbolagen finns det en möjlighet att gå med säker vinst, oavsett vem som vinner matchen. Det görs genom att satsa pengar på en viss kombination. Hur mycket pengar ska satsas till vilka odds ifall resultatet ska vara en säker nettovinst på 10 kr oavsett om Federer eller Söderling vinner matchen?

Kommentar: Denna typ av situation kallas för arbitrage och uppkommer sällan eftersom spelbolagen hela tiden jämför sina odds med konkurrenterna och då snabbt ändrar oddsen.

Lösningsförslag:

Vi inför beteckningarna nedan för oddsen.

$$\begin{align} a_1 = & 1,5 \\ a_2 = & 2,75 \\ b_1 = & 1,4 \\ b_2 = & 3,3 \end{align}$$

Vi noterar att spelbolag A erbjuder bättre odds på vinst för Federer än vad spelbolag B gör (1,5 jämfört med 1,4). På motsvarande sätt ser vi att spelbolag B erbjuder bättre odds på vinst för Söderling än vad spelbolag A gör (3,3 jämfört med 2,75).

Därför är det oddsen a₁ och b₂ som vi bör satsa pengar på. Det vill säga att vi hos spelbolag A satsar på vinst för Federer och hos spelbolag B satsar på vinst för Söderling.

Vi satsar x kr till oddset a₁ och y kr till oddset b₂. Totala satsningen blir då x+y kr.

Nu kan vi ställa upp två ekvationer för att räkna ut x och y, där båda ekvationerna ger en nettovinst på 10 kr. Första ekvationen beräknar differensen mellan vinst ifall Federer vinner och den totala insatsen, den andra ekvationen beräknar differensen mellan vinst ifall Söderling vinner och den totala insatsen.

$$\begin{align} a_{1} \cdot x-(x+y) & =10 \\ b_{2} \cdot y-(x+y) & =10 \end{align}$$

Vi sätter in värdena på a₁ respektive b₂:

$$\begin{align} 1,5\cdot x-(x+y) & =10 \\ 3,3 \cdot y-(x+y) & =10 \end{align}$$

Vi löser ut y ur den första ekvationen:

$$\begin{align} 1,5\cdot x-(x+y) & =10\\ 0,5x-y & =10 \\ y & =0,5x-10 \end{align}$$

och sedan sätter in uttrycket för y i den andra ekvationen och löser ut x:

$$\begin{align} 3,3\cdot (0,5x-10)-(x+0,5x-10) & =10 \\ 1,65x-33-1,5x+10 & =10 \\ 0,15x & =33 \\ x =\frac{33}{0,15} & =220 \end{align}$$

Vi sätter in x i ekvationen och får:

$$y=0,5x-10 =0,5\cdot 220-10=110-10=100$$

Lösning: För att säkert vinna 10 kr oavsett utfall ska vi satsa 220 kr på vinst för Federer till oddset hos spelbolag A och 100 kr på vinst för Söderling till oddset hos spelbolag B.