Grundpotensform

Grundpotensform

Grundpotensform, eller tiopotensform som det också kallas, är ett smidigt sätt att hantera väldigt stora tal, som jordens massa, eller väldigt små tal, som en väteatoms massa. Dessa typer av tal är inte lätta att hantera om man skriver ut alla nollor och därför skrivs de ofta i grundpotensform.

För att skriva tal i grundpotensform måste vi börja med att bekanta oss med potenser med \(10\) som bas, här är några exempel:

$$ 10=10^1$$

$$100=10\cdot 10=10^2 $$

$$1000=10\cdot 10\cdot 10=10^3$$

För att skriva ett tal i grundpotensform omvandlar man talets storlek men kompenserar det genom att lägga till en tiopotens så att talet fortfarande har samma värde. Till exempel:

$$4000=4\cdot 1000=4\cdot {10}^{{}^{3}}$$

Det här sättet att skriva talet 4000 på kallas för att skriva talet på grundpotensform.

Den allmänna definitionen av grundpotensform är ett tal skrivet på formen

$$a \cdot 10^b$$

sådant att

$$1\leq a <10,$$

$$b \in \mathbb{Z}$$

där \(a\) är ett tal, och \(b\) ett heltal. Om talet \(a\) är utanför det angivna intervallet, mindre än \(1\) eller lika med eller större än \(10\) måste uttrycket skrivas om genom att byta värde på exponenten \(b\).

Vi tittar på ett exempel:

$$1100=11\cdot 10^{2}$$

Detta är inte skrivet i grundpotensform eftersom \(a=11\) vilket är större än \(10\) och är därför inte inom intervallet. Det måste därför skrivas om

$$1100=1,1\cdot 10^{3}$$

Nu är \(a=1,1\) vilket är inom intervallet och vi kan säga att \(1100\) nu är skrivet på grundpotensform.

Stora tal i grundpotensform

Låt oss titta på ett exempel där vi använder grundpotensformen för att skriva om ett stort tal, så att det blir mer lätthanterligt.

Vill vi skriva jordens massa i kg (som innehåller \(24\) nollor) så kan vi skriva:

$$\\m \approx 6\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,\text{ kg}=6\cdot {10}^{{}^{24}}\,\text{ kg} $$

Små tal i grundpotensform

Små tal i grundpotensform fungerar på exakt samma sätt. Vi måste bara tänka på att använda rätt tiopotens.

Så här ser tiopotenserna ut för decimaltal:

$$ \\0,1=\frac{1}{10}=\frac{1}{{10}^{{}^{1}}}={10}^{{}^{-1}} \\ \\0,01=\frac{1}{100}=\frac{1}{{10}^{{}^{2}}}={10}^{{}^{-2}} \\ \\0,001=\frac{1}{1000}=\frac{1}{{10}^{{}^{3}}}={10}^{{}^{-3}}$$

Så här kan man tänka när man skriver små tal i grundpotensform:

$$0,005=5\cdot 0,001=5\cdot {10}^{{}^{-3}}$$

Ett exempel på ett litet tal som kan skrivas i grundpotensform är en väteatoms massa i kg (som innehåller \(28\) decimaler)

$$\\m \approx 0,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,001\,7\,\text{ kg}=1,7\cdot {10}^{{}^{-27}}\,\text{ kg} $$

På din miniräknare

Vissa miniräknare och datorprogram utelämnar \(10\):an när de skriver ut uttryck på grundpotensform och skriver istället ett E, som motsvarar tiopotens.

$$ 6E24=6\cdot {10}^{{}^{24}}$$

$$4,13E-14=4,13\cdot10^{-14}$$