Ekvationslösning

Anna och Fia ska dela på \(450\) kr och Anna ska få \(\frac{2}{3}\) av vad Fia får. Hur mycket pengar får var och en?

Lösning:

Vi börjar med att ställa upp problemet som en ekvation. Låt säga att Fia ska få \(x\) kronor. Då Anna ska få \(\frac{2}{3}\) av Fia får, så ska hon då få \(\frac{2}{3}\cdot x = \frac{2x}{3} \) kronor.

Tillsammans ska de ha \(450\) kronor. Då kan vi skriva problemet som följande ekvation:

$$ x + \frac{2x}{3} = 450$$

Nu vill vi ta reda på vad \(x\) är. För att göra detta börjar vi med att förenkla det vänstra ledet:

$$x+\frac{2x}{3}=\left(1+\frac{2}{3} \right)x=\left(\frac{3}{3}+\frac{2}{3} \right)x=\frac{5}{3}x=\frac{5x}{3} $$

Då det vänstra ledet är förenklat kan vi skriva ekvationen på följande vis:

$$ \frac{5x}{3} = 450$$

För att vi inte ska ha ett bråk på vänster sida så multiplicerar vi båda led med 3:

$$ \frac{5x}{3}\cdot 3 = 450\cdot 3 \,\, \Rightarrow 5x = 1350$$

Sedan dividerar vi båda led med 5 för att \(x\) ska stå ensamt i vänsterledet:

$$ \frac{5x}{5} = \frac{1350}{5}$$

$$x = 270$$

Nu vet vi att \(x = 270\) och man kan tro att uppgiften är klar här, men går man tillbaka och läser vad de frågar efter så vill de veta hur mycket pengar var och en får. Vi vet än så länge bara hur mycket pengar Fia skulle få. Genom att multiplicera Fias belopp med \(\frac{2}{3}\) så får vi reda på hur mycket Anna ska få:

$$ 270\cdot \frac{2}{3} = \frac{270\cdot2}{3} = \frac{540}{3} = 180$$

Nu har vi räknat ut allt som efterfrågades, Anna ska få \(180\) kr och Fia \(270\). Man kan kontrollera om detta är rimligt dels genom att kontrollera att \(x=270\) faktiskt är en lösning till den ekvation vi ställt upp och kolla så att Annas och Fias pengar tillsammans faktiskt blir \(450\) kr.