Definitions- och värdemängd

Definitionsmängden består av de x-värden som kan sättas in i funktionen. I detta fall handlar det om kvadratroten.

a. För att försöka förstå vad för x-värden som är rimliga kan vi testa lite (med miniräknare om så behövs): $$f(9)=\sqrt{9}=3$$ $$f(4)=\sqrt{4}=2$$$$f(1)=\sqrt{1}=1$$ $$f(0)=\sqrt{0}=0$$
Dessa värden verkar fungera bra, det finns inga problem med att sätta in dem.
Vad händer då om vi går till negativa tal? $$f(1)=\sqrt{1}=1$$ När vi stoppar in -1 i funktionen får vi ett problem. Vi vet kanske inte vad svaret är men vi vet hur vi beräknar roten ur.
Roten beräknas som att samma tal multiplicerat med samma tal ska bli talet under rottecknet. Exempelvis blir: $$f(4)=\sqrt{2\cdot 2}=2$$ Svaret kan vara 0, positivt (+) eller negativt ( - ).
0 kan det ju inte vara (får roten av 0 är 0). Positivt är inte heller rätt för $$+\cdot+ =+$$ Den sista möjligheten är att svaret är ett negativt tal. Men här uppstår ett problem: $$-\cdot- =+$$ Ett negativt tal multiplicerat med ett negativt tal är positivt.
Roten måste ta samma tal multiplicerat med samma tal. I sådana fall kan vi bara få positiva tal (eller noll). Fast här ska vi ta roten av ett negativt tal.
Det verkar inte som detta går. Alltså kan negativa \(x\) inte vara i definitionsmängden.
Definitionsmängden består då av alla \(x\) som inte är negativa. Det vill säga
$$x\geq 0$$

b. Värdemängden är de tillåtna funktionsvärdena (y-värdena). Det vill säga vilka värden kan funktionen ta?
Här ska vi nu kolla på vad som kommer ut (i stället för vad vi stoppar in i funktionen). Låt oss testa lite vad som händer med enkla tal.
$$f(0)=\sqrt{0}=0$$ $$f(1)=\sqrt{1}=1$$ $$f(4)=\sqrt{4}=2$$$$f(9)=\sqrt{9}=3$$ $$f(20)=\sqrt{20}\approx 4,47$$ $$f(100)=\sqrt{100}=10$$

Här är det då HÖGERLEDET som spelar roll, vilka värden får vi ut efter vi stoppat in \(x\)-värdet.

Vi kan se att funktionen växer med större \(x\)-värden. Det minsta funktionsvärdet är 0. Det verkar dock som funktionen kan ta hur stora värden som helst. Exempel
$$f(1\,000\,000)=\sqrt{1\,000\,000}=1\,000$$
Med andra ord består värdemängden av alla värden större än eller lika med noll.
$$f(x)\geq 0$$