Bestäm \(f(x)\)

Funktionen är exponentiell vilket ger att:
$$f(x)=C\cdot a^x$$
Se dock att punkterna vi har är:

\begin{align*}
f(2)&=C\cdot a^2=12\\
f(4)&=C\cdot a^4=48
\end{align*}

Vi vet alltså inte vad vare sig \(C\) eller \(a\) är. Men vi har två ekvationer med två obekanta, då bör vi kunna beräkna de två obekanta. Vi börjar med att bestämma förändringsfaktorn \(a\). Det finns då ett knep för exponentialfunktioner.
Då de ökar via multiplikation så kan vi använda kvoter för att bestämma förändringsfaktorn:

$$\frac{f(4)}{f(2)}=\frac{C\cdot a^4}{C\cdot a^2}=a^2$$
Men se också att:
$$\frac{f(4)}{f(2)}=\frac{48}{12}=4$$
Det ger att:
$$a^2=4$$
Vilket i sin tur ger att:
$$a=2$$
Anledningen att vi inte tog med \(a = -2\) är för att exponentialfunktioner kräver att a > 0. Vi kan nu bestämma \(C\) genom att sätta in en punkt (vilken som går bra):
$$f(2)=C\cdot2^2=12$$$$\Rightarrow 4C=12\Rightarrow C=3$$
Vilket ger oss funktionen:
$$f(x)=3\cdot 2^x$$