Blandade exempel
1. Förhållanden mellan sinus och cosinus
Använd följande bild för att visa att:
a) \(\cos(v) = \sin(90 ̊ - v)\)
b) \(\sin(v) = \cos(90 ̊ - v)\)
Motivera ditt svar.
a) För att göra sambanden lite mer uppenbara är det nog bra att markera ut en till vinkel. Då triangelns vinkelsumma är 180 ̊ gäller det att den sista vinkeln, w, vid triangelns topp ges av: $$v+90+w=180^{\circ}$$ Subtrahera 90 grader och v för att få: $$w=90^{\circ}-v$$
Här har vi även namngett sidorna a, b och c. Låt oss ställa upp kvoten som är cosinus: $$\cos(v)=\frac{närliggande}{hypotenusa}=\frac{a}{c}$$ Men se att mot den andra vinkeln så blir det inte cosinus utan sinus: $$\sin(90^{\circ}-v)=\frac{motstående}{hypotenusa}=\frac{a}{c}$$ Dvs. $$\cos(v)=\sin(90^{\circ}-v)=\frac{a}{c}$$ Det är viktigt att hålla reda på vilken vinkel man arbetar med. De har olika motstående och närliggande sidor.
b) Vi gör i praktiken på samma sätt fast för sinus i stället. $$\sin(v)=\frac{motstående}{hypotenusa}=\frac{b}{c}$$ men för den andra vinkeln får vi att: $$\cos(90^{\circ}-v)=\frac{närliggande}{hypotenusa}=\frac{b}{c}$$ Dvs. $$\sin(v)=\cos(90^{\circ}-v)=\frac{a}{c}=\frac{a}{c}$$
2. Bestäm de resterande tangens
Bestäm tan(B) om:
a) \(\tan(A) = \frac{1}{2}\)
b) \(\tan(A) = \frac{3}{5}\)
a) Låt oss försöka rita en bild. Minns definitionen av tangens: $$\tan(A)=\frac{motstående}{närliggande}$$ Detta ska göras i en rätvinklig triangel: 
Här gäller det att den motstående sidan till vinkeln A (BC) ställer upp ett förhållande med sidan AB: $$\tan(A)=\frac{1}{2}=\frac{BC}{AC}$$ Alltså är BC hälften så stor som AB. Vad vi söker dock är \(\tan(B)\). Men \(tan(B)\) motstående sida är AC vilket ger: $$\tan(B)=\frac{motstående}{närliggande}=\frac{AC}{BC}$$ Se att \(\tan(B)\) är det omvända av \(\tan(A)\). Dvs. $$\tan(B)=\frac{1}{\tan(A)}=\frac{2}{1}$$ $$\tan(B)=2$$
b) För nästa uppgift använder vi exakt samma tillvägagångssätt. Eftersom \(\tan(B)\) är det omvända av \(tan(A)\) får vi: $$\tan(B)=\frac{1}{\tan(A)}=\frac{5}{3}$$ $$\tan(B)=\frac{5}{3}$$
1. Förhållanden mellan sinus och cosinus
Använd följande bild för att visa att:
a) \(\cos(v) = \sin(90 ̊ - v)\)
b) \(\sin(v) = \cos(90 ̊ - v)\)
Motivera ditt svar.
a) För att göra sambanden lite mer uppenbara är det nog bra att markera ut en till vinkel. Då triangelns vinkelsumma är 180 ̊ gäller det att den sista vinkeln, w, vid triangelns topp ges av: $$v+90+w=180^{\circ}$$ Subtrahera 90 grader och v för att få: $$w=90^{\circ}-v$$
Här har vi även namngett sidorna a, b och c. Låt oss ställa upp kvoten som är cosinus: $$\cos(v)=\frac{närliggande}{hypotenusa}=\frac{a}{c}$$ Men se att mot den andra vinkeln så blir det inte cosinus utan sinus: $$\sin(90^{\circ}-v)=\frac{motstående}{hypotenusa}=\frac{a}{c}$$ Dvs. $$\cos(v)=\sin(90^{\circ}-v)=\frac{a}{c}$$ Det är viktigt att hålla reda på vilken vinkel man arbetar med. De har olika motstående och närliggande sidor.
b) Vi gör i praktiken på samma sätt fast för sinus i stället. $$\sin(v)=\frac{motstående}{hypotenusa}=\frac{b}{c}$$ men för den andra vinkeln får vi att: $$\cos(90^{\circ}-v)=\frac{närliggande}{hypotenusa}=\frac{b}{c}$$ Dvs. $$\sin(v)=\cos(90^{\circ}-v)=\frac{a}{c}=\frac{a}{c}$$
2. Bestäm de resterande tangens
Bestäm tan(B) om:
a) \(\tan(A) = \frac{1}{2}\)
b) \(\tan(A) = \frac{3}{5}\)
a) Låt oss försöka rita en bild. Minns definitionen av tangens: $$\tan(A)=\frac{motstående}{närliggande}$$ Detta ska göras i en rätvinklig triangel:
Här gäller det att den motstående sidan till vinkeln A (BC) ställer upp ett förhållande med sidan AB: $$\tan(A)=\frac{1}{2}=\frac{BC}{AC}$$ Alltså är BC hälften så stor som AB. Vad vi söker dock är \(\tan(B)\). Men \(tan(B)\) motstående sida är AC vilket ger: $$\tan(B)=\frac{motstående}{närliggande}=\frac{AC}{BC}$$ Se att \(\tan(B)\) är det omvända av \(\tan(A)\). Dvs. $$\tan(B)=\frac{1}{\tan(A)}=\frac{2}{1}$$ $$\tan(B)=2$$
b) För nästa uppgift använder vi exakt samma tillvägagångssätt. Eftersom \(\tan(B)\) är det omvända av \(tan(A)\) får vi: $$\tan(B)=\frac{1}{\tan(A)}=\frac{5}{3}$$ $$\tan(B)=\frac{5}{3}$$