Blandade exempel

a) För att göra sambanden lite mer uppenbara är det nog bra att markera ut en till vinkel. Då triangelns vinkelsumma är 180 ̊ gäller det att den sista vinkeln, w, vid triangelns topp ges av: $$v+90+w=180^{\circ}$$ Subtrahera 90 grader och v för att få: $$w=90^{\circ}-v$$
Här har vi även namngett sidorna a, b och c. Låt oss ställa upp kvoten som är cosinus: $$\cos(v)=\frac{närliggande}{hypotenusa}=\frac{a}{c}$$ Men se att mot den andra vinkeln så blir det inte cosinus utan sinus: $$\sin(90^{\circ}-v)=\frac{motstående}{hypotenusa}=\frac{a}{c}$$ Dvs. $$\cos(v)=\sin(90^{\circ}-v)=\frac{a}{c}$$ Det är viktigt att hålla reda på vilken vinkel man arbetar med. De har olika motstående och närliggande sidor.
b) Vi gör i praktiken på samma sätt fast för sinus i stället. $$\sin(v)=\frac{motstående}{hypotenusa}=\frac{b}{c}$$ men för den andra vinkeln får vi att: $$\cos(90^{\circ}-v)=\frac{närliggande}{hypotenusa}=\frac{b}{c}$$ Dvs. $$\sin(v)=\cos(90^{\circ}-v)=\frac{a}{c}=\frac{a}{c}$$

a) Låt oss försöka rita en bild. Minns definitionen av tangens: $$\tan(A)=\frac{motstående}{närliggande}$$ Detta ska göras i en rätvinklig triangel:
Här gäller det att den motstående sidan till vinkeln A (BC) ställer upp ett förhållande med sidan AB: $$\tan(A)=\frac{1}{2}=\frac{BC}{AC}$$ Alltså är BC hälften så stor som AB. Vad vi söker dock är $\tan(B)$. Men $tan(B)$ motstående sida är AC vilket ger: $$\tan(B)=\frac{motstående}{närliggande}=\frac{AC}{BC}$$ Se att $\tan(B)$ är det omvända av $\tan(A)$. Dvs. $$\tan(B)=\frac{1}{\tan(A)}=\frac{2}{1}$$ $$\tan(B)=2$$
b) För nästa uppgift använder vi exakt samma tillvägagångssätt. Eftersom $\tan(B)$ är det omvända av $tan(A)$ får vi: $$\tan(B)=\frac{1}{\tan(A)}=\frac{5}{3}$$ $$\tan(B)=\frac{5}{3}$$