Multiplikation och division av bråk

I det här avsnittet introduceras reglerna för multiplikation och division av bråk och hur man kan räkna med blandad form.

Multiplikation av bråktal

När vi har två bråktal som ska multipliceras, då multiplicerar vi de båda talens täljare för sig och nämnare för sig. För att hålla reda på uträkningen är det bra att skriva upp det hela på ett gemensamt bråkstreck.

Här kommer ett exempel på hur det kan gå till:

$$\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3} $$

Vi skriver denna produkt av bråktal på ett gemensamt bråkstreck och multiplicerar täljarna för sig och nämnarna för sig:

$$\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{3\cdot1}{4\cdot3}=\frac{3}{12}=\frac14$$

I det sista steget förkortade vi med \(3\) för att få svaret i sin enklaste form.

Vi tar ett ytterligare exempel på multiplikation av bråktal, där vi vill utföra denna multiplikation:

$$1\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{5} $$

I det här uttrycket ser vi att den första faktorn är ett tal skrivet i blandad form, en form som vi stötte på i det förra avsnittet. För att underlätta beräkningen av produkten, skriver vi om den första faktorn så att den står i bråkform, och sedan multiplicerar vi faktorerna:

$$1\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{5}=\left ( \frac{6}{6} + \frac{1}{6} \right )\cdot \frac{1}{5}=$$

$$=\frac{7}{6}\cdot \frac{1}{5}=\frac{7\cdot 1}{6\cdot 5}=\frac{7}{30}$$

I exemplet ovan skrevs den ena faktorn om först, sen i övrigt utfördes samma typ av beräkning som i det tidigare exemplet ovan.

Formeln för bråktalsmultiplikation är:

$$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}d=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}=\frac{ac}{bd}$$

Beroende på vilket resultat man får kan det behövas att förkorta bråket så att den står i sin enklaste form.

Division av bråktal

Med hjälp av vad vi kom fram till i delen om multiplikation av bråktal, kan vi gå vidare och förklara division av bråktal.

Hur delar vi till exempel \(\frac{3}{4}\) med \(\frac{4}{5}\)?
Vi börjar med att förlänga kvoten med \(\frac{5}{4}\) mellan de båda bråktalen:

$$\frac{\,\,\frac{3}{4}\,\,}{\frac{4}{5}}=\frac{\,\,\frac{3}{4}\,{\color{Blue} \cdot\, \frac{5}{4}}\,\,}{\frac{4}{5}\,{\color{Blue} \cdot\, \frac{5}{4}}} $$

Anledningen till just att välja \(\frac{5}{4}\) är att då blir uträkningen \(1\) i nämnaren:

$$\frac{4}{5}\cdot \frac{5}4=\frac{20}{20}=1$$

Uträkningen blir:

$$ \frac{\,\,\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{4}\,\,}{1}=\frac{3\cdot 5}{4\cdot 4}=\frac{15}{16}$$

I praktiken behöver vi inte förlänga varje gång vi stöter på division mellan två bråktal, eftersom vi kan utnyttja en enkel regel.

I exemplet ovan multiplicerade vi täljaren \(\normalsize{\frac{3}{4}}\) med den inverterade nämnaren \(\normalsize{\frac{5}{4}}\), vilket gav samma resultat när vi förlängde. Med andra ord tar man bråket i nämnaren och byter plats på dess täljare och nämnare, och multiplicerar med det.

Regeln kan skrivas som:

$$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$$

Att dividera ett tal med \(\normalsize{\frac{4}{5}}\) är alltså detsamma som att multiplicera talet med \(\normalsize{\frac{5}{4}}\) (det inverterade värdet)