Hur lång var kvadratens sida?

En kvadrats sida fördubblas och då ökar arean med \(75\, m^2\). Hur lång var kvadratens sida innan fördubblingen?

Lösning:

Låt oss kalla den ursprungliga längden av kvadratens sida för \(x\). Vi kallar arean innan sidan fördubblades för \(A_{före}\). I uppgiften får vi veta att den nya arean är \(75\, m^2\) större än den gamla arean och att sidlängden fördubblas, så om \(x\) är den gamla sidolängden så är \(2x\) den nya sidolängden. Areorna för de båda kvadraterna fås då av \(x^2\) samt \((2x)^2\). Med hjälp av denna info kan vi skriva upp uttryck för hur man beräknar både den gamla arean och den nya:

Gammal area: \(x^2=A_{före}\)

Ny area:          \((2x)^2 =A_{före} + 75\)

Då den gamla arean kan skrivas som \(x^2\) så kan vi ersätta \(A_{före}\) med \(x^2\) i ekvationen som visar hur man beräknar den ny arean. Då får vi följande ekvation:

$$(2x)^2=x^2+75$$

Vi beräknar den ekvationen för att få ut hur lång sidan var på den ursprungliga kvadraten. Vi börjar med att kvadrera \(2x\): \((2x)^2=4x^2\). Då blir vår ekvation

$$4x^2=x^2+75$$

Då vi vill ha alla \(x\) på samma sida så subtraherar vi \(x^2\) från båda leden:

$$4x^2-x^2=x^2+75-x^2$$

$$3x^2=75$$

Nu vill vi få bort koefficienten framför \(x^2\), så vi dividerar båda led med \(3\):

$$\frac{3x^2}{3}=\frac{75}{3}$$

$$x^2=25$$

Sedan är det bara att ta roten ur på båda sidor:

$$\sqrt{x^2}=\sqrt{25}$$

$$x= \pm5$$

Vi ser här att vi har två lösningar till ekvationen, både \(x=5\) och \(x=-5\). Men då vi har sagt att \(x\) är längden på en sida och en längd inte kan vara negativ så vet vi att den lösning vi söker är \(x=5\). Kvadratens sida var alltså \(5\, m\) lång innan den fördubblades. Att lösningen är korrekt kan man kolla genom att beräkna de två areorna för kvadraterna som har en \(5\) respektive \(10\, m\) lång sida och se om skillnaden mellan dessa areor är \(75\, m^2\), det vill säga kontrollera att arean ökat med \(75\, m^2\) då sidolängden fördubblas från \(5\) till \(10\, m\).