Vilket är talet?

Ett positivt tal multipliceras med \(5\). Produkten höjs upp med \(2\). Potensen divideras med \(3\). Från kvoten subtraheras \(8\). Differensen är \(67\). Vilket är talet?

Lösning:

Vi har ett okänt tal. Låt oss kalla det \(x\). Det första som sker är att vårt tal \(x\) multipliceras med \(5\). Det kan vi skriva som \(5\cdot x\).

Nästa sak som händer är att produkten höjs upp med \(2\). Då potensräkning har högre prioriteringsordning än multiplikation måste vi sätta en parentes runt \(5x\) för att den beräkningen ska ske först. Vi skriver då \((5x)^2\).

Efter det ska vår potens divideras med \(3\). Då division har lägre prioriteringsordning än potenser behöver vi inte använda oss av någon parentes här eftersom potensen ska beräknas före divisionen. Därför kan vår beräkning så här långt skrivas som \(\frac{(5x)^2}{3}\).

Det sista som sker är att \(8\) subtraheras från vår kvot. Då subtraktion har lägst prioriteringsordning och ska ske sist krävs inte heller här någon parentes. Vårt uttryck blir då

$$\frac{(5x)^2}{3}-8$$

Differensen \(\frac{(5x)^2}{3}-8\) är \(67\) då sätter vi dit \(=67\) och får följande ekvation:

$$\frac{(5x)^2}{3}-8=67$$

Vi kan nu lösa denna ekvation. Först adderar vi \(8\) till båda leden:

$$\frac{(5x)^2}{3}-8+8=67+8$$

$$\frac{(5x)^2}{3}=75$$

Sedan multiplicerar vi båda leden med 3:

$$\frac{(5x)^2}{3}\cdot3=75\cdot3$$

$$(5x)^2=225$$

Nu kan vi förenkla vänsterledet då \((5x)^2= 5^2\cdot x^2=25x^2\)

$$25x^2=225$$

Sedan dividerar vi båda led med \(25\):

$$\frac{25x^2}{25}=\frac{225}{25}$$

$$x^2=9$$

Slutligen tar vi roten ur på båda sidor:

$$\sqrt{x^2}=\sqrt{9}$$

$$x=\pm3$$

Då uppgiften säger att det är ett positivt tal man har från början så vet vi att talet som eftersöks är \(3\). Man kan kontrollera att det stämmer genom att genomföra alla operationer som beskrivs i uppgiften för att se att slutdifferensen verkligen blir \(67\).