Förändringar i procent
I detta avsnitt repeterar vi procenträkning och procentuella förändringar.
Procent betyder hundradel och betecknas med %-tecknet. Exempelvis betyder 5% att vi har delat något i hundra delar och tagit fem av de delarna. I bråkform skriver vi detta som 5100 och i decimalform som 0,05. Detta förhållande kallas också för andelen och brukar skrivas:
Andelen=DelenHela
Om vi känner till andelen och vet hur mycket det hela är, så kan man bestämma hur stor delen är genom att lösa ut Delen ur formeln. Vi får:
Delen=Andelen⋅Hela
Exempel 1:
4 kompisar köper en lott tillsammans och vinner 10000 kronor. Om varje person har betalat 14 del av lottpriset så äger de 14 av lotten.
Varje person måste få sin andel som är 14=0,25=25% av vinsten också.
För att kunna räkna 25% av vinsten måste vi omvandla från %-form till decimalform först:
25%=25100=0,25
Varje person får:
25%av=0,25⋅10000=2500kronor
Svar: Varje person får sin del som är 2500 kronor.
Om man vet andelen och vet hur stor delen är kan man också räkna ut hur stor det hela är genom att lösa ut Hela ur formeln:
Hela=DelenAndelen
Exempel 2:
Anna har lånat pengar från banken för att köpa en bil. Anna har glömt hur mycket hon är skyldig till banken. Hon vet att räntan är 5% och att hon betalar 4000 kronor. Hur mycket är hon skyldig banken?
Hela=DelenAndelen=40000,05=80000kronor
Svar: Hon är skyldig 80000 kronor till banken.
Procent används också för att ange storleken på en förändring. Affärer brukar skriva 50% rea i sina annonser. Eftersom 50%=50100=12 så innebär detta att man ska betala hälften av ordinariepriset. Om exempelvis en jacka kostar 1000kr så kommer den kosta 500 kronor efter rean.
Om vi vill räkna förändringen i procent så delar vi värdet på förändringen med det ursprungliga värdet. Om exempelvis en produkt som kostar 800 kronor säljs för 600 kronor så blir den procentuella förändringen:
FörändringenUrsprungliga värdet=800−600800==200800=0,25==25100=25%
Svar: Priset har minskat med 25%.
Det är viktigt att ange om förändringen var minskning eller ökning.
Ibland anges förändringar i procentenheter. Detta används när man vill beskriva förändringen mellan två procentuella värden.
Förändringen i procentenheter=Nya procentsatsen−gamla procentsatsen
Exempel 3:
Räntan ökar från 2,5% till 3,0%.
a) Bestäm förändringen i procentenheter
Förändringen i procentenheter=Nya procentsatsen−gamla procentsatsen=
=3,0%−2,5%=0,5procentenheter
Svar: Räntan har ökat med 0,5 procentenheter.
b) Bestäm förändringen i procent.
FörändringenUrsprungliga värdet=3,0%−2,5%2,5%==0,5%2,5=0,2==20100=20%
Svar: Förändringen i procent ökat med 20%.
Det är viktigt att skilja på förändringar i procentenheter och förändringar i procent.
Promille
För att visa mindre förändringar används också tusendelar. Detta kallas för Promille och betecknas med ‰-tecknet. Exempelvis betyder 2\,‰ att vi har delat något i tusendelar och tagit två av de delarna. I bråkform skriver vi detta som \frac{2}{1000} och i decimalform som \small{0,002}. Samma beräkningar som för procent gäller också för promille.
I detta avsnitt repeterar vi procenträkning och procentuella förändringar.
Procent betyder hundradel och betecknas med \(\%\)-tecknet. Exempelvis betyder \(5\,\%\) att vi har delat något i hundra delar och tagit fem av de delarna. I bråkform skriver vi detta som \(\frac{5}{100}\) och i decimalform som \(\small{0,05}\). Detta förhållande kallas också för andelen och brukar skrivas:
$$Andelen=\frac{Delen}{Hela}$$
Om vi känner till andelen och vet hur mycket det hela är, så kan man bestämma hur stor delen är genom att lösa ut Delen ur formeln. Vi får:
$$Delen = Andelen\cdot Hela$$
Exempel 1:
4 kompisar köper en lott tillsammans och vinner 10000 kronor. Om varje person har betalat \(\frac{1}{4}\) del av lottpriset så äger de \(\frac{1}{4}\) av lotten.
Varje person måste få sin andel som är \(\frac{1}{4}=\small{0,25}=\small{25}\,\%\) av vinsten också.
För att kunna räkna \(\small{25}\,\%\) av vinsten måste vi omvandla från \(\%\)-form till decimalform först:
$$25\,\%=\frac{25}{100}=0,25$$
Varje person får:
$$25\,\% \,\texttt{av} =0,25\cdot10000= 2500\, \texttt{kronor}$$
Svar: Varje person får sin del som är \(\small{2500}\) kronor.
Om man vet andelen och vet hur stor delen är kan man också räkna ut hur stor det hela är genom att lösa ut Hela ur formeln:
$$Hela=\frac{Delen}{Andelen}$$
Exempel 2:
Anna har lånat pengar från banken för att köpa en bil. Anna har glömt hur mycket hon är skyldig till banken. Hon vet att räntan är \(\small{5}\,\%\) och att hon betalar \(\small{4\,000}\) kronor. Hur mycket är hon skyldig banken?
$$Hela=\frac{Delen}{Andelen}=\frac{4\,000}{0,05}=80\,000\, \texttt{kronor}$$
Svar: Hon är skyldig \(\small{80\,000}\) kronor till banken.
Procent används också för att ange storleken på en förändring. Affärer brukar skriva \(\small{50}\,\%\) rea i sina annonser. Eftersom \(\small{50}\,\% = \frac{50}{100} =\frac{1}{2}\) så innebär detta att man ska betala hälften av ordinariepriset. Om exempelvis en jacka kostar \(\small{1000}\, kr\) så kommer den kosta \(\small{500}\) kronor efter rean.
Om vi vill räkna förändringen i procent så delar vi värdet på förändringen med det ursprungliga värdet. Om exempelvis en produkt som kostar \(\small{800}\) kronor säljs för \(\small{600}\) kronor så blir den procentuella förändringen:
$$\begin{align} \frac{\texttt{Förändringen}}{\texttt{Ursprungliga värdet}}=\frac{800-600}{800} &=\\ &= \frac{200}{800}= 0,25 &=\\ &= \frac{25}{100} = 25\,\% \end{align}$$
Svar: Priset har minskat med \(\small{25}\,\%\).
Det är viktigt att ange om förändringen var minskning eller ökning.
Ibland anges förändringar i procentenheter. Detta används när man vill beskriva förändringen mellan två procentuella värden.
$$\texttt{Förändringen i procentenheter} = \texttt{Nya procentsatsen} - \texttt{gamla procentsatsen}$$
Exempel 3:
Räntan ökar från \(\small{2,5}\,\%\) till \(\small{3,0}\,\%\).
a) Bestäm förändringen i procentenheter
$$\texttt{Förändringen i procentenheter}= \texttt{Nya procentsatsen} - \texttt{gamla procentsatsen}=$$
$$=3,0\, \% - 2,5\, \%= 0,5\, \texttt{procentenheter}$$
Svar: Räntan har ökat med \(\small{0,5}\) procentenheter.
b) Bestäm förändringen i procent.
$$\begin{align} \frac{\texttt{Förändringen}}{\texttt{Ursprungliga värdet}}=\frac{3,0\,\%-2,5\,\%}{2,5\,\%} &=\\ &= \frac{0,5\,\%}{2,5\,%}= 0,2 &=\\ &= \frac{20}{100} = 20\,\% \end{align}$$
Svar: Förändringen i procent ökat med \(\small{20}\, \%\).
Det är viktigt att skilja på förändringar i procentenheter och förändringar i procent.
Promille
För att visa mindre förändringar används också tusendelar. Detta kallas för Promille och betecknas med \(‰\)-tecknet. Exempelvis betyder \(2\,‰\) att vi har delat något i tusendelar och tagit två av de delarna. I bråkform skriver vi detta som \(\frac{2}{1000}\) och i decimalform som \(\small{0,002}\). Samma beräkningar som för procent gäller också för promille.
Här går vi igenom Procent, delen och det hela.
Hjälpmedel
Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.
Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.
- Procent – hundradelar.
- Promille – tusendelar.
Tre typuppgifter i procent
Här går vi genom procenttriangeln.
Typuppgift 1:
Bestäm \(12\%\) av 400 kr.
Typuppgift 2:
Bestäm hur många procent 8h är av 24h.
Typuppgift 3:
Bestäm Tomas lön då han betalar \(8\,300\) kr i skatt och det motsvarar \(30\%\) av lönen.
Procent med huvudräkning
Exempel 1:
Beräkna \(12\%\) av \(600\) - vägen över \(1\%\)
För nedanstående exempel, se länk.
Exempel 2: Beräkna \(15\%\) av \(920\) - vägen över \(10\%\; \&\; 5\%\).
Exempel 3: Vilket är lånebeloppet om \(6\%\) av lånet är \(3\,600\) kr?
Jämförelser utan förändringsfaktor
I riksdagsvalet 2018 fördelades rösterna mellan de två största partierna enligt följande:
S fick \(28,26\%\) av rösterna och M fick \(19,84\%\) av rösterna.
Uppgift 1:
Hur många procentenheter skiljer mellan partierna?
För nedanstående exempel, se länk.
Uppgift 2: Hur många \(\%\) fler röster fick S än M?
Uppgift 3: Hur många \(\%\) färre röster fick M än S?
Procent, promille & ppm - Teori
- Vad betyder \(\%\), \(‰\) & ppm?
- En 100 g chokladkaka består av 24 rutor. Hur många \(\%\) av chokladkakan har du kvar då du ätit 9 rutor?
Svara i enklaste bråkform : decimalform : procentform
Promille och PPM
Exempel 1:
Hur många promille är 8 g av 2 kg?
Exempel 2:
Av misstag tappar Eva 2 g arsenik i familjens pool med måtten 15m × 5m × 3m. Kommer halten arsenik i poolen överskrida gränsvärdet på 0,01 ppm som är tillåtet i dricksvatten?
Problemlösning procent - Vattenmelon
En vattenmelon som väger \(6\) kg består till \(92 \%\) av vatten. När melon har legat i solen och torkat består den av \(86 \%\) vatten.
Hur mycket väger melonen efter torkning?