Räta linjens ekvation
Räta linjens ekvation beskriver ett linjärt samband mellan två variabler, y och x. Linjen ritas som rak linje i ett koordinatsystem.
Räta linjens ekvation skrivs
y=kx+m
Där k och m är konstanter som avgör sambandet mellan variablerna x och y. Konstanten k anger linjens lutning och m anger vid vilket värde som linjen skär y-axeln, då x=0.
Exempel 1
Antag att konstanterna m=5 och k=1. Denna räta linjes ekvation är:
y=1⋅x+5=x+5
Exempel 2
Den räta linjen y=2x+3 har följande graf:
Linjen skär y-axeln vid y=3, som vi kan läsa av via m-värdet, då x=0.
Lutningen k hittas genom att studera hur stegen i x-led förhåller sig till stegen i y-led. För varje steg i x-led tas två steg i y-led för varje punkt längs linjen.
k-värdet 2 innebär en ökning av x-värdet med 1 och en ökning av y-värdet med 2. För varje steg (+1) i x-led tas k steg i y-led.
Den räta linjen y=−2x+4 har följande graf:
k-värdet −2 innebär en ökning av x-värdet (A−B) och en minskning av y-värdet (B−C) med 2.
Konstanterna k och m
Konstanten k kallas riktningskoefficient och betecknar lutningen på linjen. Ett positivt k-värde ger en linje som lutar snett uppåt åt höger i koordinatsystemet, alltså att y-värdet blir större ju större värdet blir på den oberoende variabeln x.
I figuren ovan ser vi i svart den konstanta linjen y=1, i grönt y=x, och i rött y=3x.
Ett negativt k-värde ger en linje som lutar snett neråt åt höger, och att y-värdet blir mindre ju större värdet blir på den oberoende variabeln.
I figuren ovan ser vi den konstanta linjen y=1 i svart, den minskande y=−x i grönt, och minskande y=−3x i rött.
När k=0 så har linjen en horisontell lutning som är parallell med x-axeln. Notera att om k=0 så kommer inte y-värdet att vara beroende av värdet på den oberoende variabeln – y-värdet kommer då att vara detsamma, konstant, oavsett av den oberoende variabelns värde. När k-värdet är 0, är y=0x+m. Vilket är samma sak som y=m.
Konstanttermen m bestämmer var linjen skär y-axeln. m-värdet motsvarar y-värdet i den punkten där x=0, alltså där linjen skär y-axeln.
När m-värdet är positivt skär linjen y-axeln ovanför origo och när det är negativt skär linjen y-axeln under origo. När m=0 går genom origo, dvs. punkten (0,0).
Exempel 3
Ritar vi linjen y=x+5 i exempel 1 skär y-axeln i punkten (0,5), dvs. den punkt där x=0 och y=5.
Räkna ut lutning på en rät linje
Givet två punkter på linjen (x1,y1) och (x2,y2) så kan vi med följande formel räkna fram lutningen:
k=Förändring iy-ledFörändring ix-led=ΔyΔx=y2−y1x2−x1
Exempel 4
Antag den räta linjen y=x+5 med följande värdetabell.
x | y |
0 | 5 |
1 | 6 |
2 | 7 |
3 | 8 |
4 | 9 |
Välj två godtyckliga punkter från tabellen, t.ex. (0,5) och (3,8). Vi sätter
(x1,y1)=(0,5)och(x2,y2)=(3,8)
Sätt in punkterna i formeln för att beräkna k-värdet:
k=y2−y1x2−x1=8−53−0=33=1
Vi vet att detta stämmer, då funktionen har formen f(x)=x+5, dvs. har k=1.
Räkna ut var linjer skär y-axeln
Härnäst ska vi visa två metoder för att ta reda på m-värdet. Den ena metoden kallas för k-form och den andra kallas för enpunktsform.
Räkna ut linjens ekvation – 2 punkter givna
När vi har två punkter för en rät linje kan vi bestämma denna räta linjes ekvation y=kx+m, genom att räkna ut k-värdet och m-värdet.
Exempel
Vi använder samma exempel som för k-värdet. Vi har räknat ut k-värdet till 1, med punkterna (0,5) och (3,8). Vi sätter in k-värdet i räta linjens ekvation för att lösa ut m:
y=kx+m=1⋅x+m=x+m
m=y−x
Vi vet två punkter på linjen, vi väljer någon av dem och sätter in i ekvationen. Vi får nu en ekvation med endast en variabel, vilket vi kan lösa. Exempelvis punkten (3,8):
m=8−3=5
Konstanterna är nu beräknade till k=1 och m=5. Vår räta linjens ekvation är:
y=kx+m=1⋅x+5=x+5
Linjens ekvation är y=x+5
Exempel
I följande geogebra - graf kan man studera lutningen (k-värde) och skärning med y-axeln (m-värde) genom att dra i glidarna och flytta punkterna (A och B) som beräknar k.
Linjens ekvation i enpunktsform
När vi känner till k-värdet och en punkt för en rät linje kan vi bestämma denna räta linjes ekvation med hjälp av enpunktsformen:
y−y1=k(x−x1)
Exempel
Med samma exempellinje som tidigare har vi k=1 och punkten (x1,y1)=(3,8). För alla punkter längs den räta linjen gäller sambandet
k=y−y1x−x1⇒1=y−8x−3
Multiplicera upp nämnaren. Det ger räta linjens ekvation i enpunktsform.
1⋅(x−3)=y−8
Räta linjens ekvation i k-form fås genom att lösa ut y
y=x−3+8=x+5
Proportionalitet
Om ekvationen y=kx+m saknar m-värde, dvs. m=0, skrivs den räta linjen
y=kx
Detta specialfall kallas proportionalitet. Det betyder att de två variablernas förhållande är konstant. Man säger att y motsvarar en konstant multipel av x. Om linjen är proportionell så är k=yx. (k kan vara positiv eller negativ)
T.ex. om man köper en vara som kostar a kr/kg beräknas kostnaden med y=ax. x-axeln representerar antal kg av varan och kostnaden på y-axeln.
Räta linjens ekvation i allmän form
Den allmänna formen är ax+by+c=0 där både a och b är skilda från 0. Om man dividerar båda sidor med b och flyttar ax till vänstersidan erhålles y=(−ax)/b−c/b det medför att
k=−abochm=−cb
Räta linjens ekvation beskriver ett linjärt samband mellan två variabler, \(y\) och \(x\). Linjen ritas som rak linje i ett koordinatsystem.
Räta linjens ekvation skrivs
$$y=kx+m$$
Där \(k\) och \(m\) är konstanter som avgör sambandet mellan variablerna \(x\) och \(y\). Konstanten \(k\) anger linjens lutning och \(m\) anger vid vilket värde som linjen skär y-axeln, då \(x=0\).
Exempel 1
Antag att konstanterna \(m=5\) och \(k=1\). Denna räta linjes ekvation är:
$$y=1\cdot x+5=x+5$$
Exempel 2
Den räta linjen \(y=2x+3\) har följande graf:
Linjen skär y-axeln vid \(y=3\), som vi kan läsa av via m-värdet, då \(x=0\).
Lutningen \(k\) hittas genom att studera hur stegen i x-led förhåller sig till stegen i y-led. För varje steg i x-led tas två steg i y-led för varje punkt längs linjen.
k-värdet \(2\) innebär en ökning av x-värdet med \(1\) och en ökning av y-värdet med \(2\). För varje steg \((+1)\) i x-led tas \(k\) steg i y-led.
Den räta linjen \(y=-2x+4\) har följande graf:
k-värdet \(-2\) innebär en ökning av x-värdet \((A-B)\) och en minskning av y-värdet \((B-C)\) med \(2\).
Konstanterna \(k\) och \(m\)
Konstanten \(k\) kallas riktningskoefficient och betecknar lutningen på linjen. Ett positivt k-värde ger en linje som lutar snett uppåt åt höger i koordinatsystemet, alltså att y-värdet blir större ju större värdet blir på den oberoende variabeln \(x\).
I figuren ovan ser vi i svart den konstanta linjen \(y=1\), i grönt \(y=x\), och i rött \(y=3x\).
Ett negativt k-värde ger en linje som lutar snett neråt åt höger, och att y-värdet blir mindre ju större värdet blir på den oberoende variabeln.
I figuren ovan ser vi den konstanta linjen \(y=1\) i svart, den minskande \(y=-x\) i grönt, och minskande \(y=-3x\) i rött.
När \(k=0\) så har linjen en horisontell lutning som är parallell med x-axeln. Notera att om \(k=0\) så kommer inte y-värdet att vara beroende av värdet på den oberoende variabeln – y-värdet kommer då att vara detsamma, konstant, oavsett av den oberoende variabelns värde. När k-värdet är \(0\), är \(y=0x+m\). Vilket är samma sak som \(y=m\).
Konstanttermen \(m\) bestämmer var linjen skär y-axeln. m-värdet motsvarar y-värdet i den punkten där \(x=0\), alltså där linjen skär y-axeln.
När m-värdet är positivt skär linjen y-axeln ovanför origo och när det är negativt skär linjen y-axeln under origo. När \(m=0\) går genom origo, dvs. punkten \((0,\,0)\).
Exempel 3
Ritar vi linjen \(y=x+5\) i exempel 1 skär y-axeln i punkten \((0,\,5)\), dvs. den punkt där \(x=0\) och \(y=5\).
Räkna ut lutning på en rät linje
Givet två punkter på linjen \((x_1, y_1)\) och \((x_2, y_2)\) så kan vi med följande formel räkna fram lutningen:
$$k=\frac{\text{Förändring i}\;y\text{-led}}{\text{Förändring i}\;x\text{-led}}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
Exempel 4
Antag den räta linjen \(y=x+5\) med följande värdetabell.
\(x\) | \(y\) |
0 | 5 |
1 | 6 |
2 | 7 |
3 | 8 |
4 | 9 |
Välj två godtyckliga punkter från tabellen, t.ex. \((0,\,5)\) och \((3,\,8)\). Vi sätter
$$(x_1, y_1)=(0, 5)\;\text{och}\;(x_2, y_2)=(3, 8)$$
Sätt in punkterna i formeln för att beräkna k-värdet:
$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{8-5}{3-0}=\frac{3}{3}=1$$
Vi vet att detta stämmer, då funktionen har formen \(f(x)=x+5\), dvs. har \(k=1\).
Räkna ut var linjer skär \(y\)-axeln
Härnäst ska vi visa två metoder för att ta reda på \(m\)-värdet. Den ena metoden kallas för \(k\)-form och den andra kallas för enpunktsform.
Räkna ut linjens ekvation – 2 punkter givna
När vi har två punkter för en rät linje kan vi bestämma denna räta linjes ekvation \(y=kx+m\), genom att räkna ut \(k\)-värdet och \(m\)-värdet.
Exempel
Vi använder samma exempel som för \(k\)-värdet. Vi har räknat ut \(k\)-värdet till \(1\), med punkterna \((0,\,5)\) och \((3,\,8)\). Vi sätter in \(k\)-värdet i räta linjens ekvation för att lösa ut \(m\):
$$y=kx+m=1\cdot x+m=x+m$$
$$m=y-x$$
Vi vet två punkter på linjen, vi väljer någon av dem och sätter in i ekvationen. Vi får nu en ekvation med endast en variabel, vilket vi kan lösa. Exempelvis punkten \((3,\,8)\):
$$m=8-3=5$$
Konstanterna är nu beräknade till \(k=1\) och \(m=5\). Vår räta linjens ekvation är:
$$y=kx+m=1\cdot x+5=x+5$$
Linjens ekvation är \(y=x+5\)
Exempel
I följande geogebra - graf kan man studera lutningen (\(k\)-värde) och skärning med \(y\)-axeln (\(m\)-värde) genom att dra i glidarna och flytta punkterna (\(\color{Blue}{\text{A}}\) och \(\color{Blue}{\text{B}}\)) som beräknar \(k\).
Linjens ekvation i enpunktsform
När vi känner till \(k\)-värdet och en punkt för en rät linje kan vi bestämma denna räta linjes ekvation med hjälp av enpunktsformen:
$$y-y_1=k(x-x_1)$$
Exempel
Med samma exempellinje som tidigare har vi \(k=1\) och punkten \((x_1,y_1)=(3, 8)\). För alla punkter längs den räta linjen gäller sambandet
$$k=\frac{y-y_1}{x-x_1}\Rightarrow 1=\frac{y-8}{x-3}$$
Multiplicera upp nämnaren. Det ger räta linjens ekvation i enpunktsform.
$$1\cdot(x-3)=y-8$$
Räta linjens ekvation i \(k\)-form fås genom att lösa ut \(y\)
$$y=x-3+8=x+5$$
Proportionalitet
Om ekvationen \(y=kx+m\) saknar \(m\)-värde, dvs. \(m=0\), skrivs den räta linjen
$$y=kx$$
Detta specialfall kallas proportionalitet. Det betyder att de två variablernas förhållande är konstant. Man säger att \(y\) motsvarar en konstant multipel av \(x\). Om linjen är proportionell så är \(k=\frac{y}{x}\). (\(k\) kan vara positiv eller negativ)
T.ex. om man köper en vara som kostar \(a\) kr/kg beräknas kostnaden med \(y=ax\). \(x\)-axeln representerar antal kg av varan och kostnaden på \(y\)-axeln.
Räta linjens ekvation i allmän form
Den allmänna formen är \(ax+by+c=0\) där både \(a\) och \(b\) är skilda från \(0\). Om man dividerar båda sidor med \(b\) och flyttar \(ax\) till vänstersidan erhålles \(y=(-ax)/b-c/b\) det medför att
$$k=-\frac{a}{b}\, \text{och}\;m=-\frac{c}{b}$$
Här går vi igenom hur vi kan med hjälp av \(k\)-formen bestämma den räta linjens ekvations.
Här går vi igenom hur vi kan med hjälp av enpunktsformen bestämma den räta linjens ekvation.
Hjälpmedel
Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.
Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.
- Linjär funktion: Är en funktion som har formen \(y=kx+m\), där där \(y=f(x)\).
- Riktningskoefficient: Det är värdet som bestämmer räta linjens lutning.
- Variabel: Är en okänd värde som beskriver olika saker, t.ex. antal elever, tempraturer, kön, ålder osv.
- Origo: Är punkten med koordinat \((0,\,0)\), där axlarna möts och värdet är \(0\) på både \(x\) och \(y\).
- Proportionalitet: När sambandet mellan två variabler är konstant.