Efter hur många år har Eva sparat över en miljon?
Eva sätter in \(40\,000\) kronor i slutet av varje år på ett sparkonto i 6 år. Under dessa 6 år ger kontot \(1,9 \%\) årlig ränta. Efter den sista insättningen låter hon pengarna stå kvar på kontot utan fler inbetalningar. Från och med då ändras villkoren - pengarna får nu \(1,9\%\) ränta per månad, och räntan kapitaliseras varje månad. Efter hur många år totalt har Eva mer än en miljon kronor på kontot?
Första 6 år med årliga insättningar och årlig ränta
Först behöver vi beräkna summan efter 6 år; där kan vi använda formeln för den geometriska summan
$$S_n=\frac{a_1(k^{n}-1)}{k-1}$$
där
\(a_1 = 40\,000\) kr (årlig insättning)
\(n = 6\) (antal insättningar)
\(k=1,019\) (årlig räntan = \(1,9\% = 0,019\)
\[S_6 = \frac{40\,000 \left(1,019^6-1\right)}{1,019-1} \approx 251\,693\]
Efter 6 år har Eva \(251\,693\) kr
Efter 6 år blir räntan \(1,9\%\) per månad
Nu vill vi veta efter hur många år Eva ska ha över \(1\,000\,000\) kr totalt, om pengarna får stå kvar utan fler insättningar och växa med en månatlig ränta på \(1,9\%\). Här kan vi använda exponentialfunktionen för att beräkna antalet år
\[S_t = a_1\cdot k^t\]
där
\(S_t=1000\;000\) är summan efter \(t\) år
\(a_1=251\,693\) kr är beloppet efter 6 år
\(k=1,019\) är förändringsfaktor
\(t=\) antalet år
\[1000\,000 = 251\,693\cdot 1,019^t\]
\[1,019^t = \frac{1000\,000}{251\,693} \approx 4 \]
\[1,019^t = 4 ⇒ t \log{(1,019)} = \log{(4)}\]
\[t = \frac{ \log{(4)} }{ \log{(1,019)} } \approx 74\]
Alltså \(t = 74\) månader \(=\frac{74}{12} \approx 6,2 \) år
Svar:
Eva når \(251\,693\) kr efter föra 6 åren, och efter ytterligare \(6,2\) år når hon \(1000\,000\) kr. Det innebär att hon når \(1000\,000\) kr efter \(6 + 6,2 =12,2\) år. För att nå mer än \(1000\,000\) kr behöver hon alltså minst 13 år totalt.