Cosinussatsen

I de två föregående avsnitten har vi stött på två triangelsatser: areasatsen, som vi kan använda för att beräkna triangelns area, och sinussatsen, som beskriver sambandet mellan två sidor i triangeln och de mot dessa sidor stående vinklarna.

I det här avsnittet ska vi lära oss en tredje sats för godtyckliga trianglar, cosinussatsen, som beskriver sambandet mellan en triangels tre sidor och en av denna triangels vinklar.

Med hjälp av cosinussatsen kan vi alltså beräkna en vinkel om vi känner till alla tre sidornas längd, eller så kan vi beräkna en sidas längd om man känner till en vinkel och de två övriga sidornas längd.

Återigen använder vi samma triangel som i de tidigare två avsnitten:

Cosinussatsen lyder:

$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$$

Som vi nämnde finns det alltså två typiska situationer där vi vill använda cosinussatsen: antingen känner vi till de tre sidornas längder, a,b och c och vill veta en okänd vinkel \(\alpha\), eller också känner vi till två av sidornas längd och (minst) en vinkel och vill veta en sidas okända längd.

Beroende på vilket tal som är okänt får vi skriva om satsen, så att vi kan beräkna det okända talet. Notera att sidan a ska vara motstående till vinkeln som används i satsen.

Innan vi går vidare till exempel så kollar vi över ett bevis för cosinussatsen. Vi ritar upp en godtycklig triangel och markerar höjden.

Vi använder de trigonometriska förhållandena i räta trianglar för att få längderna på baserna i de två räta trianglarna som bildas, så här den högra basen som vi kan kalla x får vi eftersom

$$\cos(\beta) =\frac{ x}{a}$$

Och därför är \(x = a\cdot\cos(\beta)\)

På samma sätt får vi att den andra räta triangelns bas är \(b\cdot \cos(\alpha)\). Nu använder vi dessa och tillämpar Pythagoras sats i högra räta triangeln för att få ut höjden, som vi kallar h.

$$h^2= b^2-(b\cdot\cos(\alpha))^2$$

Vi behöver inte lösa ut h utan använder \(h^2\) i Pythagoras sats för den andra räta triangeln

$$a^2 = (a\cdot\cos(\beta))^2 + b^2-(b\cdot\cos(\alpha))^2$$

Vi kan enligt figuren skriva om \(a\cdot\cos(\beta)\) och vi vill göra det eftersom vi vill i cosinussatsen enbart ha \(\cos(\alpha)\)

$$a\cdot\cos(\beta)=c-b\cdot\cos(\alpha)$$

vi sätter in detta i uttrycket  för \( a^2\) som vi hade tidigare

$$a^2 = (c-b\cdot\cos(\alpha))^2 + b^2-(b\cdot\cos(\alpha))^2$$

Vi utvecklar detta och får

$$a^2 = c^2 –2bc\cdot\cos(\alpha) +b^2\cdot\cos(\alpha)^2 +b^2 –b^2\cdot\cos(\alpha)^2$$

Efter termerna med \(b^2\cdot\cos(\alpha)^2\) tagit ut och varandra försvunnit får vi

$$a^2 =  b^2 + c^2 –2bc\cdot\cos(\alpha)  $$

Vilket är cossinussatsen, som vi ville visa.

Låt oss titta på tre exempel på hur vi kan använda cosinussatsen

Exempel 1

I en triangel är två av sidorna 4 cm och 10 cm. Deras mellanliggande vinkel är 50°. Beräkna längden på den sida i triangeln som är motstående 50°-vinkeln.

Vi börjar med att rita upp följande figur:

Med hjälp av figuren ovan får vi enligt cosinussatsen:

$$a^2=4^2+10^2-2\cdot 4\cdot 10\cdot \cos 50^{\circ}$$

$$a=\sqrt{4^2+10^2-2\cdot 4\cdot 10\cdot \cos 50^{\circ}}\approx 8 \text{ cm}$$

Längden på den sida i triangeln som är motstående 50°-vinkeln är alltså 8 cm.

Exempel 2

I en triangel är alla sidornas längder kända: 5 cm, 9 cm och 12 cm. Ingen vinkel i triangeln är känd. Beräkna vinkeln som står mot sidan som är 12 cm.

Vi börjar med att rita upp följande figur:

Med hjälp av figuren ovan får vi enligt cosinussatsen:

$$12^2=9^2+5^2-2\cdot 9\cdot 5\cdot \cos \alpha$$

$$2\cdot 9\cdot 5\cdot \cos \alpha=9^2+5^2-12^2$$

$$\cos \alpha=\frac{9^2+5^2-12^2}{2\cdot 9\cdot 5}$$

$$\alpha=\arccos{\left( \frac{9^2+5^2-12^2}{2\cdot 9\cdot 5}\right) }$$

$$\alpha= 115^{\circ}$$

Vinkeln som står mot sidan som är 12 cm är alltså 115°.

Exempel 3

I en triangel är två av sidorna 6 cm och 5 cm. Vinkeln som står mot sidan som är 5 cm är 40°. Beräkna längden på sidan som är okänd.

Vi börjar med att rita upp följande figurer:

Som vi ser i figurerna kan längden av sidan som är okänd ha två olika längder.

Med hjälp av figurerna ovan får vi enligt cosinussatsen:

$$5^2=6^2+c^2-2\cdot 6\cdot c\cdot \cos 40^{\circ}$$

Vi börjar med att samla alla termer till en sida:

$$0=c^2-2\cdot 6\cdot \cos 40^{\circ}\cdot c + 6^2-5^2$$

$$0=c^2-12\cdot \cos 40^{\circ}\cdot c + 11$$

Nu har vi fått en andragradsekvation med variabeln c och för att lösa ut c använder vi pq-formeln:

$$c= \frac{12\cdot \cos 40^{\circ}}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{12\cdot \cos 40^{\circ}}{2} \right)^2 -11 }$$

$$c= 6\cdot \cos 40^{\circ} \pm \sqrt{36 (\cos 40^{\circ})^2 -11 }$$

Vilket ger:

$$c_1\approx 7,8 \text{ cm}$$

$$c_2\approx 1,4 \text{ cm}$$

Längden på den okända sidan är ungefär 7,8 cm eller 1,4 cm.