Uppgift 14

Funktionen \(f\) ges av \(f(x)=x^3− 3x^2+ 7\)

Använd derivata och bestäm koordinaterna för eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter för funktionens graf.

Avgör också, för varje sådan punkt, om det är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt.

Lösningsförslag

Vi har funktionen \(f(x)=x^3− 3x^2+ 7\) och ska hitta koordinaterna för eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter, så vi börjar med att derivera funktionen \(f(x)\)

$$f'(x) = 3x^2-6x$$

För att hitta dessa punkter behöver vi nollställen till derivatan så därför löser vi ekvationen 

$$3x^2-6x=0$$

$$3x(x-2) = 0$$

Vi använder nollproduktsmetoden och får att första lösningen är \(x_1=0\) och vi har kvar

$$x-2=0$$

Så sista lösningen blir \(x_2=2\)

Vi har nu x-värdet för punkterna och kan hitta y-värdet genom att sätta in x i \(f(x)\)

$$f(0)=0-0+7=7$$

$$f(2) = 2^3-3\cdot 2^2 +7 =8-12+7=3$$

Därför har vi punkterna \((0,7)\) och \((2,3)\)

Vi gör nu en tecken tabell för att avgöra vad för punkter de är,

Beräkningarna vi gör är
$$f'(-1) = 3+6=9$$
$$f'(1) = 3-6=-3$$
$$f(3) = 27-18 =9$$

Svar: Punkten \((0,7)\) är en maximipunkt och punkten \((2,3)\) är en minimipunkt.