Rationella funktioner

Vi har gått igenom rationella uttryck, med vilket vi menar en kvot mellan två polynom. Nu ska vi titta på vad som händer om vi låter ett sådant rationellt uttryck ingå i en funktion, vad vi då kallar en rationell funktion.

Ett exempel på en rationell funktion är

$$f(x)=\frac{x^{2}}{x-1}$$

Till skillnad från polynomfunktioner, som vi träffat på tidigare, är rationella funktioner som regel inte definierade för alla variabelvärden. Om vi till exempel tittar på den rationella funktionen ovan, så är det ju inte tillåtet att nämnaren x-1 antar värdet noll, eftersom division med noll inte är definierat.

Det här för oss in på de båda begreppen definitionsmängd och värdemängd.

Definitionsmängden är de värden som en variabel som ingår i ett funktionsuttryck får anta. I vårt exempel ovan är variabeln x. Eftersom x-1 inte får vara noll, får x inte vara lika med 1. Därför är funktionens definitionsmängd alla reella tal förutom x = 1.

Värdemängden är de värden som funktionen kan anta. Med andra ord är värdemängden de funktionsvärden vi kan få fram om vi beräknar funktionsuttrycket med giltiga variabelvärden. Det enklaste sättet att få en uppfattning om en funktions värdemängd är oftast att rita upp funktionens graf. Man bör då vara särskilt uppmärksam på vad som händer med funktionsvärdet när variabelvärdet närmar sig något tal som inte är definierat (alltså inte finns i definitionsmängden).

Eftersom en rationell funktion som regel inte är definierad för alla variabelvärden är funktionens graf ofta inte sammanhängande. Här är ett exempel på hur grafen till en rationell funktion kan se ut:

Det här är en typ av kurva som ofta återkommer när man håller på med rationella funktioner.

För stora negativa variabelvärden ligger just den här kurvan ovan ganska nära x-axeln, men när variabelvärdena närmar sig x = -4 ökar funktionsvärdet kraftigt och kurvan går uppåt alltmer, mot oändligt stora positiva y-värden, ju närmare x = -4 man kommer. Kurvan är dock inte sammanhängande, så plötsligt, när variabelvärdet ökar från x = -4, befinner sig kurvan istället vid oändligt stora negativa y-värden, för att sedan lägga sig i närheten av x-axeln för värden på x som är större än -4.

Funktionen kommer nära men  skär aldrig den vertikala streckade linjen då x= -4. Denna vertikala linje kallas för en asymptot. Just denna asymptot, eftersom den är vertikal och kan skrivas som ett specifikt x-värde kallas en vertikal asymptot.

Vi kommer att gå igenom två exempel på rationella funktioner och dess asymptoter.

 För vilka värden på x är följande funktion ej definierad, ange också dess asymptot.

$$f(x) = \frac{20x}{3x+18}$$

Vi undersöker nämnaren, 

$$3x + 18 \neq 0$$

$$3x \neq -18$$

$$x = -6$$

Alltså är funktionen ej definierad för x = -6 och det blir även en vertikal asymptot. Vi kollar på hur grafen ser ut.

Vilka är asymptoterna till funktionen

$$f(x) = \frac{1}{x^2-4x-5}$$

Vi ser att funktionen inte är definierad om

$$x^2-4x-5 = 0$$

Vi använder oss av pq-formeln för att hitta vilka värden på x när detta stämmer.

$$x = - \frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{4}{2} \right)^2 -(-5)}$$

$$x= 2 \pm \sqrt{4+5}$$

$$x = 2 \pm 3$$

$$x_1=5 \text{ och } x_2= -1$$

Vi kan kontrollera genom att sätta in nollställena i andragradspolynomet,

Om x = 5 får vi

$$5^2 - 4 \cdot 5 -5 = 25 -20-5 = 0$$

vilket är det vi ville ha, så det stämmer

Om x = -1 får vi

$$(-1)^2 - 4 \cdot (-1) -5 = 1 +4 -5 = 0 $$

stämmer också.

Asymptoterna till funktionen blir alltså x₁ = 5 och x₂ = -1. Vi tittar på grafen med asymptoterna markerade nedan.