Härledning \( f’(x)=e^x \)

I det förra avsnittet visade vi att det finns ett tal e, med den speciella egenskapen att om f(x)=e^x så har denna funktion derivatan f´(x)=e^x. I det här avsnittet ska vi visa att derivatan av f(x)=e^x faktiskt är f'(x)=e^x, genom att härleda detta med hjälp av derivatans definition.

I ett tidigare avsnitt gick vi igenom derivatans definition, som ser ut på följande sätt:

$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

För att visa att funktionen f(x)=e^x har derivatan f'(x)=e^x använder vi oss av derivatans definition. Vi börjar med att stoppa in funktionen f(x) och förenklar så långt vi kan:

$$\begin{align} f'(x)= & \lim_{h \to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h} \\ & \\ = & \lim_{h \to 0}\frac{e^x\cdot e^h-e^x}{h} \\ & \\ = & \lim_{h \to 0}\frac{e^{x}\cdot (e^{h}-1)}{h} \end{align}$$

Eftersom \(e^{x}\) inte påverkar gränsvärdet då \(h\to0\), kan vi lägga den faktorn utanför gränsvärdesoperationen:

$$f'(x)=e^{x}\cdot \lim_{h \to 0}\frac{e^{h}-1}{h}$$

I det här läget kan vi inte förenkla något mer. Tittar vi närmare på uttrycket ser vi att vi har två faktorer, e^x och ett gränsvärde. För att komma vidare måste vi undersöka vad gränsvärdet går mot, så vi kan ersätta denna gränsvärdes-faktorn med ett tal. Vi har alltså gränsvärdet:

$$\lim_{h \to 0}\frac{e^{h}-1}{h}$$

För att ta reda på gränsvärdet testar vi numeriskt vad uttrycket blir genom att låta h anta små värden.

Vi ser att uttrycket går mot 1 när h går mot 0. Det innebär alltså att gränsvärdet är lika med 1:

$$\lim_{h\to 0} \frac{e^{h}-1}{h}=1$$

Eftersom vi nu vet att gränsvärdet är lika med 1 kan vi ersätta gränsvärdes-faktorn med 1:

$$\begin{align}f'(x)= & e^{x}\cdot \lim_{h\to 0} \frac{e^{h}-1}{h} \\ & \\ = & e^{x}\cdot 1 \\ & \\ = & e^{x} \end{align}$$

Vi har alltså visat att om vi har funktionen:

$$f(x)=e^x$$

så är dess derivata lika med:

$$f'(x)=e^x$$