Derivatan av \( e^{kx} \)

I det tidigare avsnittet lärde vi oss att derivatan av exponentialfunktionen f(x)=e^x är f'(x)=e^x. Hur ser då derivatan ut om exponentialfunktionen även har en konstant k i exponenten, till exempel funktionen f(x)=e^3x?

I det här avsnittet ska vi titta närmare på exponentialfunktionen av typen

$$f(x)=e^{kx}$$

och hur dess derivata ser ut.

Derivatan av f(x)=e^kx

För att ta reda på detta undersöker vi först derivatan av funktionen f(x)=e^3x. Vi deriverar funktionen med hjälp av derivatans definition:

$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Vi börjar med att stoppa in funktionen f(x) och förenklar så långt vi kan:

$$\begin{align} f'(x) = & \lim_{h \to 0}\frac{e^{3(x+h)}-e^{3x}}{h} \\ & \\= & \lim_{h \to 0}\frac{e^{3x}\cdot e^{3h}-e^{3x}}{h} \\ & \\ = & \lim_{h \to 0}\frac{ e^{3x}(e^{3h}-1)}{h}\end{align}$$

Eftersom \(e^{3x}\) inte påverkar gränsvärdet då \(h\to0\), kan vi lägga den utanför gränsvärdesoperationen:

$$e^{3x}\cdot\lim_{h \to 0}\frac{ e^{3h}-1}{h}$$

För att ta reda på vad gränsvärdet går mot då \(h\to0\) ställer vi upp en tabell och testar vad uttrycket blir då h närmar sig 0:

Som vi ser i tabellen kommer gränsvärdet gå mot 3 då h går mot 0. Detta innebär:

$$e^{3x}\cdot\lim_{h \to 0}\frac{ e^{3h}-1}{h} = e^{3x} \cdot 3$$

Vi har alltså hittat derivatan till f(x)=e^3x, vilket är f'(x)=3e^3x.

På samma sätt som vi tog fram derivatan för f(x)=e^3x kan vi ta fram derivatan för f(x)=e^kx och det kan vi sammanfatta i regeln:

där k är en konstant.