Definition av integraler

I det förra avsnittet såg vi hur vi kan hitta primitiva funktioner utifrån en känd funktion. I det här avsnittet ska vi introducera begreppet integraler och lär oss hur vi kan använda oss av integraler för areaberäkningar.

Vi börjar med att introducera integraler, grundläggande ser en integral ut som följande 

$$\int f(x) dx $$

Vi har först integraltecknet (tecknet var från början en beteckning av en summa som du kommer se strax, så när du ska rita det så kan du tänka dig att det är ett långt utdraget S) och sedan en funktion, vars primitiva funktion vi nu behöver hitta, integraltecknet ber oss leta fram den. Sista delen är dx, den säger oss att vi ska integrera en funktion på ett intervall av x-värden. Det här uttrycket utläses ” integralen av f av x, d x”. 

Nu går vi vidare till nästa steg i beräkningar av integraler. Vi vill beräkna arean under en graf och tidigare har vi sett att vi kan dela in arean i enkla geometriska figurer. Som i grafen nedan så kan vi dela in arean under den räta linjen i en rektangel med basen 0 ≤ x ≤ 2 och höjden 0 ≤ y ≤ 1 och sedan en triangel ovanpå, med höjden 4 längdenheter och samma bas 0 ≤ x ≤ 2 . Arean blir därför \(\frac{4\cdot 2}{2}+2 = 6\) areaenheter. 

Men vad gör vi om funktionen som skapar det geometriska området inte är begränsat av en rät linje eller ger oss andra enkla geometriska figurer? Om vi kollar på det skuggade områden i figuren nedan begränsas av kurvan \(f(x) = x^2\), x-axeln och de vertikala linjerna x= 0 och x= 2.

Nu får vi ta till andra metoder för att göra en uppskattning av arean, vi delar upp området i rektanglar. Vi kollar på figuren nedan. 

Nu har vi delat upp arean i fyra rektanglar som alla har basen 0,5 längdenheter. Höjden av rektanglarna kommer vara f(x) i mittpunkten av delintervallet som basen utgör. Notera att ungefär lika mycket att rektanglarna ligger ovanför som saknas nedanför, därför bli det en bra uppskattning. Vi summerar arean av varje triangel för att uppskatta totala arean.  

$$Area \approx f(0,25) \cdot 0,5 + f(0,75) \cdot 0,5 + f(1,25) \cdot 0,5 + f(1,75) \cdot 0,5 \\ = 0,3125 +0,28125 + 0,78125 + 1,53125 \approx 2,9 \text{ areaenheter.} $$

Vi får en bättre uppskattning av arean om vi delar in områden i fler rektanglar. Här nedanför har vi delat upp området i 8 rektanglar, alla med basen 0,25 längdenheter. 

Den mer noggrant uppskattade arean denna gång blir  

$$Area \approx f(0,125) \cdot 0,25 + $ f(0,375) \cdot 0,25 + f(0,625) \cdot 0,25 +\\ + f(0,875) \cdot 0,25 + f(1,125) \cdot 0,25 + f(1,375) \cdot 0,25 + f(1,625) \cdot 0,25 + \\ + f(1,875) \cdot 0,25  \approx 2,66 \text { areaeneheter. }$$

Vi kan fortsätta så här och dela in området i rektanglar, här i nästa graf är det 16 rektanglar och vi ser att vi närmar oss den faktiska arean

Men arean kommer vara summan av f(x) multiplicerat med bredden på rektanglarna \( (\Delta x)\), där x är mittpunkten av intervallet som är bredden \( (\Delta x)\). Vi kan ställa upp en formel för detta där \(\Sigma\) betecknar summan av termerna från 1 till n

$$\sum_{k=1}^n f(x_k) \cdot \Delta x$$

Där n är antalet rektanglar och \( (\Delta x)\) blir basen av rekatanglarna, notera att \(x_k\) antar alla värden mellan areans början, vid \(x=a\) och areans slut \(x=b\)  

Om vi låter n, antalet rektanglar, gå mot oändligheten som ett gränsvärde så kommer rektanglarnas bas gå mot noll, eftersom ju fler rektanglar det blir desto kortare blir deras bas och då går \(\Delta x\) mot noll så vi kommer därför byta det till \(dx\) som får representera en oändligt liten längd. Dessutom när n går mot oändligheten så kommer summan att närma sig områdets area. Detta gränsvärde av summan av rektanglar är integralen av funktionen i intervallet, i detta exempel från 0 till 2. Det som var \( (\Delta x)\) blir till dx och vi kan alltså ställt upp integralen och få ut arean

$$Arean = \int_0^2 x^2 dx = 2,6666.... \approx 2,67 a.e.$$

När vi beräknar integralen av en funktion så motsvarar det att vi beräknar arean mellan grafen och x-axeln. Nu tittar vi på hur denna areaberäkning med hjälp av integraler går till.

Vi börjar med att titta på arean under den räta linjen som vi började med, där vi kunde dela upp arean i geometriska former som vi lättare kunde beräkna och fick att arean blev 6 areaenheter.

Vi kan bekräfta att det kommer vara 6 areaeneheter när vi använder en integral också.

Vi har följande funktion

$$f(x)=2x+1$$

och är intresserade av att veta arean av det område som ligger mellan grafen och x-axeln, och som begränsas av de vertikala linjerna x=0 och x=2.

Det finns en generell formel, som heter integralkalkylens fundamentalsats för beräkning av denna typ av integraler som då ger oss arean under kurvan och x-axeln i intervallet a ≤ x ≤ b: 

$$\int_{a}^{b}f(x)dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b)-F(a)$$

I det vänstra ledet har vi först integraltecknet

$$\int $$

Talen a och b anger den undre respektive den övre gränsen (integraltecknet läses alltså nedifrån och upp) för det område som vi är intresserade av (i vårt exempel är a=0 och b=2). Till höger om integraltecknet med dess gränser kommer den funktion som utgör områdets övre gräns. Sist i vänstra ledet kommer dx, som här anger att areaberäkningen ska ske med avseende på förändring i x-led.

I det högra ledet anges differensen

$$F(b)-F(a)$$

Detta är alltså differensen mellan värdet på den primitiva funktion F vid den övre gränsen (x=b) och den undre gränsen (x=a).

Det är mycket nytt som kommer på en gång med denna formel, så det enklaste är att fortsätta med vårt exempel:

Vi har alltså den kända funktionen f(x)=2x+1 och vi känner till den undre gränsen vid a=0 och den övre gränsen vid b=2. Därmed kan vi ställa upp det vänstra ledet i formeln, som i vårt exempel ser ut så här (vi tar i det här fallet uttryckligen med att integralen utgör en area, A):

$$A=\int_{0}^{2}(2x+1)dx$$

I formelns högra led ingår den primitiva funktionen F, som vi inte känner till än, så i nästa steg får vi beräkna den, vilket vi gör utifrån de regler som vi kom fram till i det förra avsnittet. Vi får följande:

$$F(x)=x^{2}+x+C$$

När vi ska beräkna integralen skriver vi vanligen uträkningen på följande sätt:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx = \left [ F(x) \right ]_a^b$$

vilket i vårt exempel blir

$$\int_{0}^{2}(2x+1)dx = \left [ x^2+x \right ]_0^2$$

Som du kanske upptäckte i formeln ovan, bortsåg vi från konstanttermen C när vi skrev ut högerledet. Anledningen till detta är att denna term ändå kommer att försvinna eftersom den finns med i såväl F(b) som F(a). Du kan testa att ta med C och se hur det försvinner om du vill, men beräkningen blir bara längre och krångligare, vi kan visa hur det skulle se ut.  

$$A=\int_{0}^{2}(2x+1)dx = \left [ x^2+x \right ]_0^2=$$

$$=(2^{2}+ 2 + C)-(0^{2}+ 0 +C)=$$

$$=4+2+C-C=6 \text{ areaenheter }.$$

Du kan alltså skippa steget att ha med +C om integralen har gränser, som vid areaberäkningar. Vi kunde bekräfta att den sökta arean är 6 areaenheter. 

I nästa avsnitt kommer vi fokusera på hur vi gör beräkningar med integraler.

Nedan har vi en interaktiv graf i GeoGebra där du kan justera ena gränsen b och antalet rektanglar under grafen och se hur värdet på summan och integralen förändras.