Derivata

1. Låt \(f(x)=2x^2+x\). Ställ upp och förenkla kvoten \(\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\). Beräkna gränsvärdet av kvoten då \(h\to 0\). Ange lutningen hos kurvan \(y=2x^2+x\) i punkten \(P \;\; (1,3)\) och bestäm en ekvation för tangenten i denna punkt.

2. En boll kastas upp i luften. Höjden \(y\) över marken beskrivs av funktionen \(y=2+8x-5x^2\), där \(x\) är tiden i sekunder. Hur högt når bollen?

3. Låt \(f(x)=x^3-3x^2+1\) vara definierad på området \(-1\leq x\leq3\). Bestäm alla lokala extremvärden. Bestäm det största och minsta värdet.

Lösningsförslag:

1)

Vi har funktionen \(f(x)=2x^2+x\) och kvoten \(\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\). I kvoten ska vi sätta in \(f(1+h)\) och \(f(1)\), vilka är:

$$\begin{align} & f(1+h)=2(1+h)^2+(1+h) \\ & f(1)=2\cdot1^2+1=3\end{align}$$

Sätter vi en dessa i kvoten får vi:

$$\begin{align} & \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{2(1+h)^2+(1+h)-3}{h} = \\ & \frac{2(1+2h+h^2)+(1+h)-3}{h}=\\ & \frac{2+4h+2h^2+1+h-3}{h}=\frac{5h+2h^2}{h}=\\ & \frac{h(5+2h)}{h}=5+2h\end{align}$$

Vi ska nu beräkna gränsvärdet, då \(h\) går mot noll. När \(h\to0\), betyder det att värdet för \(h\) blir så litet att vi kan sätta alla \(h\) i uttrycket till noll. Det skriver vi så här:

$$\lim\limits_{h\to0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \lim\limits_{h\to0} 5+2h=5+0=5$$

Nu ska vi beräkna tangentens ekvation i punkten \((1,3)\). Det gränsvärde som vi har beräknat är lutningskoefficienten för denna punkt. Så det vi behöver göra är att sätta in punkten \((1,3)\) och \(k\)-värdet i den räta linjens ekvation \(y=kx+m\):

$$\begin{align} & 3=5\cdot 1+m\\ & m=3-5=-2\end{align}$$

Tangentens ekvation är således \(y=5x-2\).

2)

Vi vet att höjden, \(y\), beskrivs av andragradsfunktionen \(y=2+8x-5x^2\). För att hitta den högsta höjden som bollen når behöver vi hitta maximipunkten för andragradsfunktionen och visa att det är en maximipunkt vi har funnit. Det första steget är att derivera funktionen för att hitta maximipunkten och det andra steget är att visa att det är en maximipunkt.

Vi börjar med att derivera \(y=2+8x-5x^2\)

$$y'=8-10x$$

Derivatan sätts till noll för att hitta maximipunkten:

$$\begin{align} & 0=8-10x\\ &x=\frac{8}{10}=0.8\end{align}$$

Detta \(x\)-värde (som är tiden då bollen når sin högsta höjd) stoppas tillbaka i funktionen för att få fram höjden, alltså \(y\)-värdet:

$$y=2+8\cdot 0.8-5\cdot 0.8^2=5.2$$

Den högsta höjden bollen når är alltså 5.2m. Nu ska vi visa att det verkligen är en maximipunkt som vi har hittat. Detta görs genom att skapa en teckentabell för funktionen och undersöka derivatans teckenväxling. Vi får följande teckentabell:

Om vi undersöker teckentabellen kan vi konstatera att det är en maximipunkt vi har hittat och att 5.2m verkligen är den högsta höjden bollen når.

3)

För att lösa denna uppgift börjar vi med att derivera funktionen \(f(x)=x^3-3x^2+1\), sätta derivatan till noll och räkna ut extremvärdena. Sedan tittar vi på om dessa extremvärden ligger inom det definierade området \(-1\leq x\leq3\). Ligger de utanför intervallet kallas de inte lokala extrempunkter (vilka vi skulle hitta), utan globala extrempunkter. Det sista vi gör är att bestämma det största och minsta värdet. Detta görs genom att skapa en teckentabell för att veta vilken typ av extrempunkter vi har hittat (maximipunkt, minimipunkt eller terasspunkt). Vi räknar ut \(y\)-värdena för våra extrempunkter och intervallets ändpunkter för att få fram det största och minsta värdet.

Steg 1: Derivera funktionen och sätt derivatan till noll

$$\begin{align} & f'(x)=3x^2-6x \\ & 3x^2-6x=0 \\ & 3x(x-2)=0\\ & x_1=0 \text{ och } x_2=2\end{align}$$

Båda extrempunkterna ligger inom intervallet och är därför kandidater för att ge det största eller minsta värdet.

Steg 2: Teckentabell

Ur teckentabellen kan vi läsa av att punkten \(x_1=0\) är en maximipunkt och \(x_2=2\) är en minimipunkt. \(x_1\) är en kandidat för att ge högsta värdet och \(x_2\) en kandidat för att ge minsta värdet.

Steg 3: Testa alla fyra \(x\)-värden för att ta reda på högsta och minsta värdet. De fyra \(x\)-värdena är \(x_1=0\), \(x_2=2\), \(x_3=-1\) och \(x_4=3\).

$$\begin{align} & f(0)=1\\ & f(2)=-3\\ & f(-1)=-3 \\ & f(3)=1\end{align}$$

Det visar sig att ändpunkterna i intervallet har samma värde som maximipunkten och minimipunkten. Det största värdet är således 1 och det minsta värdet är -3.

För att visualisera sig problemet kan vi titta på hur kurvan för funktionen ser ut: