Geometrisk summa

Detta avsnitt är enbart en del av kursen Matte 3b, läser du 3c är du ändå välkommen att läsa, kolla, räkna och utforska vid intresse.

I Matte 1 lärde vi oss om att upptäcka mönster, talföljder och generella samband. Talföljder är siffror, som i detta sammanhang kallas element, i en ordning som oftast följer en bestämd regel. Vi tar en kortare repetition.
Oftast använder vi \(n\) för att beskriva figurens nummer eller plats i följden och \(a_i\) används för elementets index. Om vi har en talföljd som ökar med samma nummer varje gång kallas denna differens och betecknas med d. En talföljd kan då beskrivas med en rekursiv formel så som denna:

$$a_{n+1} = a_n +d$$

som då visar att varje tal i talföljden består av det föregående talet med differensen adderat.

I detta avsnitt ska vi gå vidare till geometriska talföljder, där vi går från att elementen ökar eller minskar med lika mycket.

Geometrisk talföljd
I en geometrisk talföljd multipliceras varje element med samma tal. Eftersom vi kan hitta detta tal genom att dividera två efterföljande element så kallas den kvoten och betecknas också därför oftast med k. Vi tittar direkt på ett exempel på en geometrisk talföljd
4 , 12, 36, 108…
Notera att denna talföljd fortsätter eftersom den avslutas med ”…” och kallas då oändlig, men vi kan också ha ändliga talföljder som har ett slut. Kvoten k i denna talföljd blir \( \frac{12}{4} = 3\). Notera att vi kunde tagit vilka tal som helst bara de var efterföljande. Allmän formel för att hitta kvoten är
$$k= \frac{a_{n+1}}{a_n}$$

Om vi vill beskriva geometriska talföljden i en explicit formel använder vi

$$a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$$

I exemplet ovan hade vi fått formeln

$$a_n = 4 \cdot 3^{n-1}$$

Vi tittar på fler exempel

Exempel 1: Avgör vilka följder som är geometriska, om det är fallet ange formeln

1. 1, -2, -3, 4, 5, -6,…
2. 200, 100, 50, 25
3. 1, 2, 4, 8, 16,…
4. 6, 3, 7, 2, 9
   
   

Lösning:

1. Vi börjar med att hitta kvoten k
   $$k= \frac{-2}{1}= -2$$
   Vi kontrollerar med nästa två efterföljande element att vi får samma kvot
   $$k = \frac{-3}{-2}= 1,5 $$
   Eftersom det var olika kvoter är detta inte en geometrisk talföljd
2. Kvoten blir
   $$k = \frac{100}{200}= 0,5$$
   Vi kontrollerar nästa element också
   $$k= \frac{50}{100} = 0,5$$
   Alltså är detta en geometrisk talföljd och formeln blir
   $$a_n = 200 \cdot 0,5^{n-1}$$
3. Kvoten för denna talföljd blir
   $$k = \frac{2}{1}= 2 $$
   Vi kan kontrollera men det går också att se att nästföljande tal dubbleras, så vi kan bekräfta att detta är en geometrisk talföljd med formeln
   $$a_n = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$$
4. $$k = \frac{6}{3}= 2$$
   vi testar nästa element
   $$k = \frac{3}{7} \approx 0,43 $$
   Detta är inte en geometrisk talföljd, vi hade kunnat konstatera det direkt då elementen först ökar och sen minskar, så därför kan de inte multiplicerats med samma tal.

Exempel 2: Vi sätter in 3000 kr på ett sparkonto med 5% ränta. Det vill säga kommer våra besparingar om vi låter dem ligga kvar på sparkontot, att öka med 5% varje år. Hur mycket pengar har vi på sparkontot efter 8 år?

Lösning: Hur mycket vi kommer ha på kontot varje år består av en geometrisk talföljd där kvoten blir förändringsfaktorn k = 1,05. Vi tittar på de första årens tillgångar

Allmän formel blir \(a_n = 3000 \cdot 1,05^{n-1}\), där \(n\) blir antal år vi sparat och \(a_n\) blir tillgångarna vi har efter \(n\) år. Det som efterfrågades var hur mycket vi har efter 8 år. Vi kan använda formeln och ersätta n med just 8.

$$a_8 = 3000 \cdot 1,05^{8-1} = 3000 \cdot 1,05^{7} = 4221,301… \approx 4200 kr $$

Geometrisk summa

Om vi vill lägga ihop elementen i en geometrisk talföljd så får vi en geometrisk summa som vi betecknar \(s_n\) där n är antal element vi vill lägga ihop. Summan kommer se ut så här

$$s_n = a_1 + a_1 \cdot k + a_1 \cdot k^2 + … + a_1\cdot k^{n-1}$$

Istället för att ställa upp alla element och summerar dem så vi kan använda oss av formeln
$$s_n = \frac{a_1(k^n-1)}{k-1}$$

där k inte får vara 1, då vi inte får dela med 0, men om det skulle vara fallet skulle summan bli \(s_n = n \cdot a_1\) istället.

Vi tittar på ett exempel där vi använder geometrisk summa.

Exempel 3: Beräkna den geometriska summan för
$$12 + 12 \cdot 1,3 + 12 \cdot 1,3^2 + … + 12 \cdot 1,3^{14}$$

Lösning:
Vi använder oss av formeln \(s_n = \frac{a_1(k^n-1)}{k-1}\) och behöver identifiera \(n, a_1 \) och \(k\)
\(a_1\) är det första elementet, som är 12, \(k\) är kvoten som är 1,3 och till sist \(n\) som blir 15 eftersom första termen multipliceras med \(k^0\) och andra termen med \(k^1\) och i vårt fall är sista termen \(k^{14}\), som är femtonde termen. Vi sätter in dessa värden in i formeln

$$s_{15} = \frac{12(1,3^{15}-1}{1,3-1} = 2007,44… \approx 2007 $$

Exempel 4: Lik tidigare så ska vi spara pengar på ett bankkonto med ränta, men denna gång sätter vi in samma summa varje år. Vi sätter in 1000 kr på ett sparkonto med den årliga räntesatsen 2,3%. Hur mycket pengar har vi totalt efter 4 år?

Lösning: Vi kan direkt sätta in våra värden i formeln för geometrisk summa, där \(a_1\) är 1000 kr, \( n\) är 4 år och \(k\) blir förändringsfaktorn för en ökning med 2,3% som motsvarar 1,023. Vi får

$$s_4 = \frac{1000(1,023^4-1)}{1,023-1} = 4140,1218… \approx 4140 \text{ kr}$$

Annuitetslån

En tillämpning vi kan använda geometrisk summa på är så kallade annuitetslån. Om vi tar ett annuitetslån ska vi betala samma summa varje år, det vill säga att annuiteten som består av räntekostnaden och amorteringen tillsammans, blir lika stor varje år. Vi tittar på ett exempel hur vi kan använda geometrisk summa för att beräkna annuiteter i annuitetslån.

Exempel 5: Vi lånar 40 000 kr från banken med räntan 3% för att köpa en moped och ska betala med samma belopp varje år i 6 år, men vi börjar betala tillbaka efter ett år. Hur stort blir annuiteten, dvs det årliga beloppet?

Lösning: Vi säger att annuiteten, beloppet vi ska betala tillbaka är x och då blir summan av de 6 återbetalningarna

$$s_6 = x + x \cdot 1,03 + x \cdot 1,03^2+ … + x \cdot 1,03^5$$
Detta blir en geometrisk summa där det okända värdet är \(a_1= x\) och kvoten \(k = 1,03\) och antalet termer \(n = 6\) och det totala beloppet som ska betalas tillbaka med 6år ränta blir vårt vänsterled i ekvationen \(s_6= 40 000 \cdot 1,03^6\)

$$40 000 \cdot 1,03^6 = \frac{x(1,03^6-1)}{1,03-1}$$

$$x = \frac{ 40 000 \cdot 1,03^6(1,03-1) }{1,03^6-1}$$

$$x = 7383,90.. \approx 7384 kr$$

Vi ska alltså betala tillbaka 7384 kr varje år.