Uppgift 8

Förenkla uttrycken så långt som möjligt.

a) \(\frac{5x^3 − x^6}{x^3}\)

b) \(\frac{ 2x^2 +12x+18}{2(x^2 −9)}\)

c)  \(\frac{2e^x \cdot e^{−ax} −e^x}{ e^{−ax} −0,5}\)

Lösningsförslag

a) För att lösa \(\frac{5x^3 − x^6}{x^3}\) börjar vi med att bryta ut \(x^3\) från båda termer i täljaren så vi kan förkorta bort det. 

$$\frac{5x^3 − x^6}{x^3}= \frac{x^3(5-x^3}{x^3} = 5-x^3$$

b) När vi ska lösa \(\frac{ 2x^2 +12x+18}{2(x^2 −9)}\) börjar vi med att bryta ut 2 ur varje term i täljaren och faktoriserar \(x^2 −9\) med hjälp av konjugatregeln till \((x-3)(x+3)\)

$$\frac{ 2x^2 +12x+18}{2(x^2 −9)}= \frac{2(x^2+6x+9)}{2(x-3)(x+3)}$$

Vi förkortar bort 2 och faktoriserar \(x^2+6x+9\) med hjälp av första kvadreringsregeln till \((x+3)^2\) så kan vi förkorta bort \((x+3)\)

$$ \frac{2(x^2+6x+9)}{2(x-3)(x+3)}= \frac{(x+3)^2}{(x-3)(x+3)} = \frac{x+3}{x-3}$$

c) För att lösa  \(\frac{2e^x \cdot e^{−ax} −e^x}{ e^{−ax} −0,5}\) vill vi hitta faktorn \((e^{−ax} −0,5)\) i täljaren så vi kan förkorta bort det. Eftersom \(\frac{e^x}{2e^x=0,5}\), så vi börjar med att bryta ut \(2e^x\) från båda termer i täljaren.

$$\frac{2e^x \cdot e^{−ax} −e^x}{ e^{−ax} −0,5}= \frac{2e^x e^{−ax} −0,5)}{ e^{−ax} −0,5} = 2e^x$$

Svar:

a) \(5-x^3\)

b) \(\frac{x+3}{x-3\)

c) \(2e^x\)