Uppgift 20

a) Utifrån tabellen kan vi beräkna hur mycket tid Sture behöver för att tillverka 40 pallar och 10 byråer. Vi beräknar arbetstimmar för monteringen och lackningen separat eftersom Sture inte kan arbeta samtidigt.

Vi vet att det tar 0,25 timmar att montera en pall och 0,5 timmar för att montera en byrå. Så antalet timmar för att montera 40 pallar och 10 byråar är:

$$40 \cdot 0,25 + 10\cdot 0,5 = 15 \;\;\text{timmar}$$

Vi vet också att det tar 0,4 timmar att lackera en pall och 1 timme för att lackera en byrå. Så antalet timmar för att lackera 40 pallar och 10 byråer är:

$$40 \cdot 0,4 + 10\cdot 1= 26 \;\;\text{timmar}$$

Alltså, Sture behöver totalt 41 timmar (26 + 15) för att tillverka 40 pallar och 10 byråer, vilket innebär att en arbetsvecka inte räcker. Vanligtvis är en arbetsvecka 40 timmar och han behöver en extra timme.

b) Svar: Nej

b) Anta att företaget producerar \(x\) pallar och \(y\) byråer per arbetsvecka. Vi vet att företagets vinst är 150 kr per pall och 320 kr per byrå, så vi kan sätta upp en vinstfunktion på följande sätt.

$$V = 150 x + 10 y$$

Den maximala vinsten kan vi finna genom att bestämma det största värdet av vinstfunktionen, vilket görs genom följande steg:

1. Identifiera alla villkor som måste uppfyllas

Företaget har maximalt 15 timmar för monteringen, det vill säga:

$$0,25x + 0,5y \leq 15$$

Företaget har maximalt 15 timmar för lackningen, det vill säga:

$$0,4x + y \leq 25$$

Det kan inte finnas ett negativt antal möbler, dvs. x och y måste vara positiva, vilket ger oss två villkor till.

$$x \geq 0$$$$y \geq 0$$

2. Rita upp och markera området i ett koordinatsystem.

Här ritar vi upp de fyra linjerna i ett koordinatsystem som motsvarar likhet i de fyra villkoren, dvs.

$$0,25x + 0,5y \leq 15 \Leftrightarrow y = 30 - 0,5x$$ $$0,4x + y \leq 25 \Leftrightarrow y = 25 - 0,4x$$$$x = 0$$$$y = 0$$

Här har vi använt GeoGebra, men det är lika bra att rita för hand.

 3. Bestäm koordinaterna för hörnen

Om du använder ett verktyg som t.ex. Geogebra kan du bestämma koordinaterna grafiskt, som visas i figuren ovan. Men det går lika bra att bestämma dem algebraiskt genom att hitta skärningspunkterna mellan linjerna runt det markerade området i ovanstående figur.

Eftersom x- och y-axlarna är två av linjerna, är origo (0, 0) ett av hörnen.

\(y=25−0,40\cdot 0\), vilket ger oss hörnet (0, 25)

\(30−0,5x=25−0,4x\), vilket ger oss hörnet (50, 5)

\(30−0,5x=0\), vilket ger oss hörnet (60, 0)

4. Beräkna värdet av vinstfunktionen i hörnen:

Hörnet (0, 0) ger:
\(V = 150 x + 10 y = 150\cdot 0 + 320\cdot 0 = 0\) kr

Hörnet (0, 25) ger: \(V = 150 x + 10 y = 150\cdot 0 + 320\cdot 25 = 8\,000\) kr

Hörnet (50, 5) ger: \(V = 150 x + 10 y = 150\cdot 50 + 320\cdot 5 = 9\,100\) kr

Hörnet (60, 0) ger: \(V = 150 x + 10 y = 150\cdot 60 + 320\cdot 0 = 9\,000\) kr

Vi observerar att det högsta värdet av vinstfunktionen är \(9\,100\) kronor under en arbetsvecka och att det återfinns i hörnet (50, 5), vilket innebär att den maximala vinsten uppnås genom tillverkning av 50 pallar och 5 byråer.

b) Svar: \(9\,100\) kr