Grundplåt till körkort

Jessica har precis tre år kvar till sin 18-årsdag och tänkte börja månadsspara för att få ihop en grundplåt på 5 000 kr till ett körkort.

Hur mycket måste hon spara per månad ifall hon sätter in pengarna på ett sparkonto med fast årsränta på 4% i slutet av varje månad?

Förräntningen sker månadsvis. Tips: räkna först ut vilken månadsränta den angivna årsräntan motsvarar.

Lösningsförslag:

Vi kallar månadsräntan för \(x\).

$$\\(1+x)^{12}=1+4\%\\\\ (1+x)=1,04^{\frac{1}{12}}\\\\ x=1,04^{\frac{1}{12}}-1=0,0032737)0,32737\%$$

Vi kallar det belopp som Jessica ska spara per månad för \(y\) (kr).

Det första månadsbeloppet kommer förräntas i 3∙12 - 1 = 35 månader. Det andra i 34 månader, o.s.v. fram till det sista som inte kommer förräntas alls.

Vi låter \(S\) vara lika med totalt kapital vid 18-årsdagen. Vi kan då ställa upp följande formel:

$$\\S=y\cdot (1+x)^{35}+y\cdot (1+x)^{34}+..... y\cdot (1+x)^{1}=\\\\y\cdot (1+(1+x)+...+(1+x)^{34}+y\cdot (1+x)^{35})$$

Vi kan nu notera att \(S\) är en geometrisk summa. Således kan den skrivas om som:

$$S=y\frac{(1+x)^{36}-1}{(1+x)-1}=y\frac{(1+x)^{36}-1}{x}$$

Vi söker nu det månadsbelopp \(y\) som gör att \(S\) blir lika med 5 000.

$$\\S=y\frac{(1+x)^{36}-1}{x}=5000\\\\ y=\frac{5000x}{(1+x)^{36}-1}=\frac{5000\cdot 0,0032737}{1,0032737-1}=131,09\approx 130$$

Jessica behöver spara ca. 130 kr/månad.

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.