Tangentens lutning

I det förra avsnittet lärde vi oss hur man kan räkna ut den genomsnittliga lutningen mellan två punkter på en kurva med hjälp av en ändringskvot.

Det skulle vara praktiskt om vi på något sätt kunde ange hur en kurva lutar i en punkt. För en punkt i sig själv ger oss inte mer information än ett x-värde och ett y-värde. Hur vet vi hur kurvan lutar i just den undersökta punkten? Är kurvan på väg uppåt eller neråt, eller kanske befinner den sig mitt i en vändning? Många gånger är detta viktig information.

I ovanstående koordinatsystem ser vi grafen till en funktion f(x). Vi ser att det inte bara är punkternas positioner på kurvan som är olika, utan även kurvans lutning i punkterna varierar. I (a) är kurvan dalande, på väg ner. I (b) är kurvan ökande precis efter en vändning. Och i (c) är kurvan också ökande, men ännu mer än i punkt (b).

Nu ska vi gå igenom ett sätt att beräkna lutningen på kurvan, i en punkt. Börja med att minnas att en rät linje ser ut så här, \(y=kx+m\) med riktningskoefficient (k) som beskriver linjens lutning. Koefficienten, eller k-värdet som vi också kallar det, räknades ut genom formeln:

$$k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

Vi ska nu undersöka lutningen i (b) och börjar med att placera ut en ny punkt i närheten av (b). Vi kallar punkten för (x):

Vi har nu två stycken punkter med två olika koordinater. Om vi binder samman de två punkterna på kurvan med en rät linje (en sekant) kommer denna linje att få lutningen:

$$k=\frac{y-y_{b}}{x-x_{b}}$$

Nu ska vi sätta in värden på x- och y-koordinaterna. Vi läser av och ger (b) x-koordinaten 2 och y-koordinaten låter vi bara vara f(2). Punkten (x) är godtycklig och får bara x-koordinaten x och y-koordinaten f(x):

Nu blir k-värdet:

$$k=\left (\frac{y-y_{b}}{x-x_{b}} \right )=\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$$

Denna nya kvot kallas för ändringskvot och liknar den formel som vi har använt tidigare. Skillnaden att vi här har ersatt specifika y-värden utifrån punkterna med de funktionsvärden som vi får med x-värdena i punkterna. Den fungerar precis likadant som vanliga k-värdesformeln, men med andra benämningar på koordinaterna.

Vad händer nu om vi flyttar punkten (x) längs kurvan så att den hamnar närmare punkten (b)?

Jo, det som händer är att linjen mellan punkterna får en annan lutning (riktningskoefficienten förändras). Jämför med hur lutningen var i förra figuren. Om vi fortsätter att flytta (x) närmare och närmare (b) så kommer vi till slut få ett så litet avstånd mellan punkterna att detta blir närmast obefintligt. Samtidigt ändras lutningen hela tiden och linjens lutning kommer allt närmare lutningen i (b). Man skulle nästan kunna säga att man får en lutning som endast mäts över punkten (b)!

Att punkten (x) närmar sig x=2 på detta sätt beskriver man som:

$$x\to 2$$

Detta utläses "x går mot 2". Om vi slutligen låter punkten (x) hamna så nära (b) att de båda punkterna nästan sammanfaller, då har vi kommit till det som kallas gränsläget. Lutningen på linjen mellan två så närliggande punkter kan anses vara samma lutning som kurvan har i punkten (b).

När man har en linje som berör en kurva i endast en punkt och har samma lutning som kurvan i den punkten, då säger man att denna linje tangerar kurvan och att den bildar en tangent till kurvan i den gemensamma punkten.