Linjär optimering

I kurserna Matte 1 och Matte 2 har vi gått igenom hur vi kan använda linjära funktioner och räta linjens ekvation. Låt oss snabbt repetera hur vi kan beskriva linjära samband med hjälp av räta linjens ekvation.

Sammanfattning och repetition av viktiga regler till räta linjen. 

Innan vi går in på linjär optimering så ska vi repetera två exempel på hur vi löser linjära olikheter. Vill du repetera mer finns det i Matte 1.

Vi börjar med att lösa en ekvation med olikhet algebraiskt.

$$\frac{2x+5}{-3}> 2$$

Vi börjar med att multiplicera med -3 på båda sidor, och eftersom det är ett negativt tal måste vi vända på olikhetstecknet. 

$$\frac{-3(2x+5)}{-3}< 2\cdot (-3)$$

$$2x+5 < -6 $$

$$2x < -11$$

$$x < -5,5$$

Nästa exempel kollar vi på hur vi löser olikheter med hjälp av grafer, det kommer vi använda mest i detta avsnitt. Graferna nedan visar två funktioner \(f(x)= x^2+2 \) (blå parabel) och \(g(x)=x+4 \) (röd linje)

I punkterna är f=g, första punkten är x = -1 och andra x = 2. 

f > 0 för alla värden på x då parabeln ligger ovanför x-axeln. 

g = 0 när x = -4, alltså är g > 0 om x > -4 och g < 0 om x < -4.

Nu undersöker vi hur graferna förhåller sig till varandra. Röda linjen g ligger ovanför parabeln eller är lika med den mellan punkterna. Alltså gäller det att

g ≥ f om -1 ≤ x ≤ 2 och

f ≥ g om x < -1 eller x > 2.

Nu kan vi gå vidare till linjär optimering. Då man vill bestämma största eller minsta värde samtidigt som man vill uppfylla vissa villkor så kan man använda metoden Linjär optimering. Förutsättningen är att dessa villkoren kan uttryckas som linjära funktionssamband. 

Ett exempel 

Bestäm största värdet av funktionen

$$m = 2y-3x$$

Följande tre villkor ska uppfyllas 

$$y \leq 7 -0,5x $$

$$y \geq 0,5x -1 $$

$$x \geq 2$$

För att lösa detta ritar vi ut linjerna 

$$y = 7 -0,5x $$

$$y = 0,5x -1 $$

$$x = 2$$

Vi använder oss av räta linjens ekvation för de första linjerna 

$$y = kx +m$$

Så för det första linjen vet vi att m = 7 och vår första punkt när vi ska rita linjen blir (0, 7). Vi behöver en till punkt för att kunna rita en linje. Vi vet att x ≥ 2 så vi sätter x = 2 och får då 

$$y = 7 - 0,5 \cdot 2 = 7-1 = 6$$

så nästa punkt blir (2, 6) och vi kan rita vår linje. På samma sätt kan vi rita linjen 

$$y = 0,5x -1 $$

Första punkten är där vi korsar y-axeln (0, -1) och sen sätter vi in x = 2 och får 

$$y= 0,5\cdot 2 -1 = 1-1 = 0$$

så andra punkten blir (2, 0) och vi kan rita andra linjen.

Sista linjen är ett vertikalt streck när x = 2. 

Så här ser linjerna ut i ett koordinatsystem

Linjen mellan A och H är linjen 

$$y = 7 -0,5x $$

Linjen mellan C och H är linjen

$$y = 0,5x -1 $$

Linjen mellan B och D är linjen

$$x = 2$$

Vi satte likamedstecken trots att villkoren från början var 

$$y \leq 7 -0,5x $$

$$y \geq 0,5x -1 $$

$$x \geq 2$$

Vi undersöker vad det betyder i bilden, vi börjar med

$$y \leq 7 -0,5x $$

Det betyder att området som är intressant ligger på eller under linjen A till H. Så allt över linjen kan vi stryka. 

Sen har vi 

$$y \geq 0,5x -1 $$

Det är linjen C till H. Området som är intressant ligger på eller över denna linje så vi kan stryka allt som ligger under. 

Sen har vi slutligen

$$x \geq 2$$

Området som är intressant ligger till höger om x=2 eller på linjen x=2 så allt till vänster om linjen x=2 kan vi stryka. 

Nu har vi fått fram det området som är intressant att undersöka. Det är området som bildar en triangel. Det största värdet finns i något av de tre hörnen. Det ingår inte i denna kurs att bevisa varför detta ger oss största värdena, så vi kan bara direkt använda oss av hörnen.

Vi läser av koordinaterna för hörnen direkt i grafen 

$$(2, 0) \text{ och } (8, 3) \text{ och } (2, 6)$$

Nu kan vi bestämma största värdet av 

$$m=2y-3x$$

Vi sätter in de olika x- och y-värdena och räknar ut de tre m-värdena

Vi börjar med punkten (2, 0)

$$m= 2 \cdot 0 - 3 \cdot 2 = -6 $$

Därefter tar vi punkten (8,3) 

$$m = 2 \cdot 3 - 3 \cdot 8 = 6 - 24 = -18 $$

Sist räknar vi ut m-värdet för punkten (2, 6)

$$m = 2 \cdot 6 -3 \cdot 2 = 12 -6= 6$$

Största värdet med villkoren blev m = 6.

Sammanfattningsvis så har vi gjort följande steg för att bestämma uttryckets största värde 

1. Markerat området i ett koordinatsystem
2. Bestämt koordinaterna för hörnen 
3. Beräknat funktionens värde i hörnen