Uppgift 22

a) Bestäm vid vilken ålder som pojkar är 125 cm långa enligt modellen.

b) Använd modellen och bestäm hur snabbt pojkar växer då de är exakt 6 år.

c) Undersök om modellen även är giltig för pojkar som går på gymnasiet.

Lösningsförslag

a) Vi har fått en längd och ska bestämma ålder, alltså ska vi byta ut \(f(x)\) mot 125 cm och hitta vilket \(x\) som ger den längden. Vi ställer upp ekvationen,

$$125=78\cdot e^{0,07x}$$

$$\frac{125}{78}=\frac{78\cdot e^{0,07x}}{78}$$

$$1,6025641...=e^{0,07x}$$

$$1,6025641...=e^{0,07x}$$

Vi löser detta med två grafer i GeoGebra, en för \(g(x) = e^{0,07}\) och \(h(x)=1,60256...\) och hittar vid vilket \(x\) de korsar och får

$$x= 6,7$$

b) Vi har en modell för längden men nu efterfrågas hur snabbt längden ändras och då behöver vi derivera funktionen och sedan beräkna \(f'(6)\).

$$f'(x) = 78\cdot 0,07\cdot e^{0,07x}=5,41\cdot e^{0,07x}$$

$$f'(6)= 5,41\cdot e^{0,07\cdot 6}= 3,9819...\approx 3,98 $$

c) Vi undersöker genom att testa åldrarna 15 och 19, vilket är vanligtvis det yngsta och äldsta åldern för gymnasiet.

$$f(15) = 78\cdot e^{0,07\cdot 15}= 222,9$$

$$f(19) =78 \cdot e^{0,07\cdot 19}= 294$$

Det är få killar i åldern 15-19 som är över två meter långa, därför är modellen inte giltig för pojkar på gymnasiet. 

Svar: 

a) \(6,7\) år

b) \(3,98\) cm/år

c) Nej, det blir över 2 meter långa då.